2．
20．（14分）已知函数f（x）（x2x）l
x．（Ⅰ）求证：1是函数f（x）的极值点；（Ⅱ）设g（x）是函数f（x）的导函数，求证：g（x）＞1．【解答】（本题14分）（Ⅰ）证明：证法1：f（x）（x2x）l
x的定义域为（0，∞）…（1分）由f（x）（x2x）l
x得分）∴f（1）0．…（3分）当x＞1时，（2x1）l
x＞0，x1＞0，∴f（x）＞0，故f（x）在（1，∞）上单调递增；…（4分）当时，（2x1）l
x＜0，x1＜0，上单调递减；…（5分），…（2
∴f（x）＜0，故f（x）在
（此处为推理说明，若用列表说明则扣1分）所以1是函数f（x）的极值点．…（6分）证法2：（根据极值的定义直接证明）f（x）（x2x）l
x的定义域为（0，∞）…（1分）∵f（x）x（x1）l
x，∴f（1）0…（3分）当x＞1时，x（x1）＞0，l
x＞0，∴f（x）＞0，即f（x）＞f（1）；…（4分）当0＜x＜1时，x（x1）＜0，l
x＜0，∴f（x）＞0，即f（x）＞f（1）；…（5分）根据极值的定义，1是f（x）的极值点．…（6分）（Ⅱ）由题意可知，g（x）（2x1）l
xx1证法1：令∞）上单调递增．…（7分）
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，，∴，故h（x）在（0，
f又∴（9分）
，又h（x）在（0，∞）上连续，使得h（x0）0，即g（x0）0，…（8分）∴．（）…
g（x），g（x）随x的变化情况如下：xg（x）g（x）…（10分）∴g（x）mi
g（x0）（2x01）l
x0x01．…（11分）由（）式得，代入上式得（0，x0）x00极小值（x0，∞）
．…（12分）令故t（x）在∴t（x）＞1．即g（x0）＞1∴g（x）＞1．…（14分）证法2：g（x）（2x1）l
xx12xl
xl
xx1，x∈（0，∞），令h（x）2xl
x，t（x）l
xx1，x∈（0，∞），…（7分）h（x）2（l
x1），令h（x）0得情况如下：xh（x）h（x）∴0极小值，即，当且仅当时取到等号．…（10分）．…（8分）h（x），h（x）随x的变化，，
上单调递减．…（13分）∴t（x）＞t（1），又t（1）1，
，令t（x）0得x1．…（11分）t（x），t（x）随x的变化情况如下：
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fxt（x）t（x）
（0，1）
10极小值
（1，∞）
…（12分），∴t（x）mi
t（1）0，即x1l
x≥0，当且仅当x1时取到等号．…（13分）∴即g（x）＞1．…（14分）．
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