AC所有可能的度数．
13．设a，b，c是素数，记xbc－a，yca－b，zab－c，当z2y，x－y2时，a，b，c能否构
成三角形的三边长？证明你的结论．
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f14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数
的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，a
，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，a
中
都至少有一个为m的魔术数．
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1．【答案】A
【解答】由已知得abc2a3b4ca2b3c0，故abc20．于是
ab

bc

ca


12
a2

b2

c2
，所以
aba2
bcb2

cac2


12
．
2．【答案】B
【解答】由于
ax2

bx

c

0
是关于
x
的一元二次方程，则
a

0．因为
x1

x2


ba
，x1x2

ca
，
且x1x20，所以c0，且
1x12

1x22

x1x222x1x2x12x22

b2
2acc2
，
1x12
1x22

a2c2
，
于是根据方程根与系数的关系，以
1x12
，1x22
为两个实根的一元二次方程是x2

b2
2acc2
x
a2c
0，
即c2x2b22acxa20．
3．【答案】D【解答】因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝
OC＝ADBD是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数．2
由Rt△DOE∽Rt△COD，知OEOD2，DEDCDO都是有
OC
OC
（第（3题第答3题题））
理数，而AC＝ADAB不一定是有理数．
4．【答案】C【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DECF，且EFDC．
连接CE，因为DECF，即DEBF，所以S△DEBS△DEC，因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．连接AF，因为EFCD，即EFAC，所以S△ACES△ACF．
因为BC4CF，所以S△ABC4S△ACF．故阴影部分的面积为6．
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（（第第44题题答）题）
f5．【答案】C
【解答】设201320124m，则
20132012
43

m3

3m333m29m2745m33m23m16460

9
，
于是20132012
3292

393
2392229231033360

45

5463967
．
二、填空题6．【答案】9
【解答】由于1a2a23，故ba22392，因此b233939．
7．【答案】20413
【解答】如图，连接AF，则有：
SAEF4SAEFSBFEBFSBCF5，
SAFD
SAFD
FDSCDF3
SAFD3SAFDSCDFCFSBCF5，
SAEF
SAEF
FESBEF4
解得SAEF

10813
，
SAFD

96．13
所以，四边形AEFD的面积是204．13
8．【答案】2013
（第7题答题）
【解答】由已知ab22c20，3a28bc0消去c，并整理得
b826a2a66．由a为正整数及6a2a≤66，可得1≤a≤3．
若ar