（0，，1）2
设平面ABC1D1的法向量为
＝（x，y，z）
由

AB0可解得
＝（1，0，1）
D
A
CBy

AD10
设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则si

Ax
AE
AE


10，5
三、15．解：如图建立空间直角坐标系，A1C1＝（－1，0）A1B1，，＝（0，1，－1）设
1、
2分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，由D1A1可解得
1＝（1，1，1）DAxBB1CyzC1

1A1B0
1A1C10
易知
2＝（0，0，1），
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所以，cos
1
2

1
2
1
2
＝
3333或－arccos．33
zD1A1FDxABMCEB1yC1
所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos
注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．16．证明：如图建立空间直角坐标系，则A1C1＝（－1，1，0）B1C＝（－1，0，－1），，A1D＝（1，0，1）
B1A＝（0，－1，－1）
设A1EA1C1，A1FA1D，B1MB1A（、、
R，且均不为0）
设
1、
2分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，由

1A1E0
可得

1A1C10
即

1A1C10

1A1F0
解得：
1＝（1，1，－1）由

1A1D0

1A1D0

2B1M0
可得

2B1A0
即

2B1A0

2B1C0

2B1C0

2B1C0
1∥
2，
解得
2＝（－1，1，－1），所以
1＝－
2，所以平面A1EF∥平面B1MC．
注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用
1⊥

2
1
20来证明．
17．（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．
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（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0）（0，2a，0），．∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA30°．于是，在Rt△AED中，由AD2a，得AEa．过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AEa，∠EAF60°，得AF
a313，EFa，∴E（0，aa）2222
于是，AE
130aaCD－a，a，022
设AE与CD的夹角为θ，则由
AECDcosθAECD
130aaaa0222413202a2aa2a20222
AE与CD所成角的余弦值为
2．4
评述：第（2）小题r