1
2
【方法技巧】解“归纳猜想证明”题的关键环节：
1准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础
2通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论
3对一般结论用数学归纳法进行证明
【变式备选】在各项均为正数的数列a
中，数列的前
项和为S
，满足
1
1
S
2a
a

f1求a1a2，a3的值2由1猜想出数列a
的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想
【解析】1a1S1
12
a1

1a1

∴a121，∵a1＞0∴a11
S2a1a21a2
12
a2

1a2

得
a
22

2a
2

1

0
∵a2＞0∴a221
同理可求得a332
2由1猜想a

1
∈N
用数学归纳法证明如下：①当
1时，由1知猜想正确
②假设当
k时，akkk1k∈N，
那么当
k1时，
ak1

Sk1
Sk

12
a
k1

1ak1
12
a
k

1ak


12
ak1

1
ak1

12

k
k1
1kk1

12
ak1

1ak1

k
∴
a2k1

2
kak110
∵ak1＞0
∴ak1k1k
即当
k1时，猜想也成立
由①、②可知，对一切
∈N，猜想都成立
11【解析】当
1时，111a即26a所以a26111231242424
而a是正整数，所以取a25，下面用数学归纳法证明：11125

1
2
3
124
1当
1时，已证；
2假设当
k时，不等式成立，
f即11125
k1k2
3k124
则当
k1时，
有111
k11k12
3k11

k
1
1

k
1
2


13k1

13k
2

13k
3

13k
4

k
11

2524
［13k
2

13k
4

3k21］
因为
13k
2

13k
4

69k2
k1
18k
8

2
3k1

所以
13k
2

13k
4

2
3k1

0
所以当
k1时，不等式也成立
由12知，对一切正整数
，都有11125

1
2
3
124
所以a的最大值等于25
【探究创新】
【解析】1设x1x2∈［01］x1x2则x2x1∈01］∴fx2f［x2x1x1］≥fx2x1fx12∴fx2fx1≥fx2x12≥0∴fx1≤fx2故当0≤x≤1时f0≤fx≤f1
∴当x1时fx取得最大值f13
又f0f00≥2f02
f0≤2而f0≥2
∴f02
∴当x0时fx取得最小值f02
2令
x1x2
12


得f
12
1


2f
12



2
∴
f
12



2

1［f2
12
1


2］

21
［f
120


2］
12


∴f1r