2015年全国高中数学联赛（B卷）（一试）
一、填空题（每个小题8分，满分64分
1：已知函数
f
x

a
ax
log
x2
值范围是
x03，其中a为常数，如果f2f4，则a的取
x3
2：已知yfxx3为偶函数，且f1015，则f10的值为
3：某房间的室温T（单位：摄氏度）与时间t（单位：小时）的函数关系为：
Tasi
tbcostt0，其中ab为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，
则ab的最大值是
4：设正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是单位正方形，如果二面角A1BDC1的
大小为
3
，则
AA1

5：已知数列a
为等差数列，首项与公差均为正数，且a2a5a9依次成等比数列，则使得
a1a2ak100a1的最小正整数k的值是
6：设k为实数，在平面直角坐标系中有两个点集Axyx2y22xy和
Bxykxyk30，若AB是单元集，则k的值为
7：设P为椭圆y2x21上的动点，点A11B01，则PAPB的最大值为43
8：正2015边形A1A2A2015内接于单位圆O，任取它的两个不同顶点AiAj，
则OAiOAj1的概率为
二、解答题
9：（本题满分16分）数列a
满足a13对任意正整数m
，均有am
ama
2m
（1）求a
的通项公式；
k
（2）如果存在实数c使得
1c对所有正整数k都成立，求c的取值范围
ai1i
f10：（本题满分20分）设a1a2a3a4为四个有理数，使得：
aiaj1i
j4


242
32

18
13
，求
a1

a2

a3

a4
的值
11：（本题满分20分）已知椭圆
x2a2

y2b2
1a
b

0
的右焦点为Fc0，存在经过点F
的一条直线l交椭圆于AB两点，使得OAOB，求该椭圆的离心率的取值范围
f（加试）1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数abc都有：
abc2bac2cab2ab2bc2ca2

12
，并确定等号成立的充要条件
2：（本题满分40分）如图，在等腰ABC中，ABAC，设I为其内心，设D为ABC内的一个点，满足IBCD四点共圆，过点C作BD的平行线，与AD的延长线交于E
求证：CD2BDCE
f3：（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组abcabc2015满足：abc1bac1cab1
4：（本题满分50分）给定正整数m
2m
，设a1a2am是12
中任取m个
互不相同的数构成的一个排列，如果存在k12m使得akk为奇数，或者存在整数
kl1klm，使得akal，则称a1a2am是一个“好排列”，试确定所有好排列
的个数。
f2015年全国高中数学联赛（B卷）解答（一试）
三、填空题（每个小题8分，满分64分
1．已知函数
f
x

ax
a
log
x2
值范r