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xvxuxvx

v2x
注意:特别地,当uc(c为常数)时,
y


cvx



cvxv2x
v
x

0
总结:根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式,可得三角函数的导数为:
f二、反函数的导数
想一想:在基本初等函数中,还有哪些函数没有求导法则?在基本初等函数中,我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论,如何求呢?易知,反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数。能否通过三角函数和对数函数的导数来求反三角函数和指数函数呢?这是可以的,这就是我们下面将要介绍的反函数的导数:
定理4设函数yfx在某一区间是单调连续,在区间任一点x处可导,且
fx0,则它的反函数xf1y在相应区间内也处处可导,且
f1x1fx


f
x


f
11x
证因为函数yfx在某一区间内是单调连续函数,可知其反函数xf1y在相
应区间内也是单调连续函数。
当yfx的反函数xf1y的自变量y取得改变量yy0时,由xf1y
的单调性知xf1yyf1y0,于是
xy

1y
x
又因为xf1y连续,所以当y0时,x0。由条件知fx0,所以
ff1ylimxlim111y0yx0ylimyfxxx0x

f1x
f
1x

f
x


f
11x
即证。例6求下列反三角函数的导数。
1)yarcsi
x;
2)yarccosx;
3)yarcta
x;
4)yarccotx。
例7求函数yaxa0a1的导数。
解由于yaxx为对数函数xlogayy0的反函数,根据反
函数的导数法则得
yax1yl
aaxl
alogay
所以,指数函数的导数公式为
axaxl
a特别地,当ae时,有
exex
三、复合函数的求导法则
综上,我们对基本初等函数的导数都进行讨论,根据基本初等函数的求导公式,以及求
f导法则,就可以求一些较复杂的初等函数了。但是,在初等函数的构成过程中,除了四则运
算外,还有复合函数形式,例如:ysi
2x。
思考:如果ysi
2x,是否有si
2xcos2x?
因此,要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则。
定理设函数ux在点x处有导数uxx,函数yfu在对应点u处有导
数yufu,则复合函数yfx在点x处也有导数,且
fxfux
简记为
dydx

dydu

dudx

yx

yu
ux。
(证明略)
注意:(1)复合函数的求导法则表明:复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中间
变量求导乘以中间变量对自变量求导。这种从外向内逐层的求导的方法,形象称为链式法则。
(2)复合函数的求导法则可以推广到有限个中间变量r
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