的轨迹方程为：2xy40（16210x16210）
9
9
点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、
韦达定理模块思维易于想到这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参，而
“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道
3求根公式呼之欲出亦显灵
案例3取值范围
设直线l
过点
P（0，3），和椭圆
x29

y24
1顺次交于
A、B
两点，试求
APPB
的
分析：本题中，绝大多数同学不难得到：
APPB


xAxB
，但从此后却一筹莫展
问题的根源
在于对题目的整体把握不够事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变
量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二
则是构造关于所求量的一个不等关系
分析1
从第一条想法入手，
APPB


xAxB
已经是一个关系式，但由于有两个变量
xA

xB
，
同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k问题
就转化为如何将xAxB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出
把直线l的方程ykx3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程求根公式
xAf（k），xBg（k）
APPB（xAxB）
得到所求量关于k的函数关系式由判别式得出k的取值范围
所求量的取值范围
f简解1：当直线l垂直于x轴时，可求得AP1PB5
当l与x轴不垂直时，设Ax1y1Bx2，y2，直线l的方程为：ykx3，代入椭
圆方程，消去y得
9k24x254kx450
解之得
x12


27k69k29k24
5

因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k0的情形
当k

0时，
x1


27k69k2
9k24
5
，
x2


27k69k29k24
5
，
所以APx19k29k251
18k
1
18

PBx29k29k25
9k29k25
92
9

5k
2
由54k21809k240解得k25，9
所以
11
18
1，
92
9

5k
2
5
综上1AP1PB5
分析2如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根
源由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联
系起来一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原
因在于APx1r