2gh（5）
以v1、V1分别表示碰撞结束时刻小球和平板沿竖直方向的速度，由于碰撞时间极短，在碰
撞过程中，小球和平板在竖直方向的动量守恒．设小球和平板的质量都是m，则有
mv1mv1mV1因为碰撞是弹性的，且平板是光滑的，由能量守恒可得12121112mv1mu0mv12mV12mu022222
解（6）（7）两式，得v10、
（8）
（6）
（7）
V1v12gh
碰撞后，平板从其平衡位置以V1为初速度开始作简谐振动．取固定坐标，其原点O与平板处于平衡位置时板的上表面中点重合，x轴的方向竖直向下，若以小球和平板发生碰撞的时刻作为t0，则平板在t时刻离开平衡位置的位移
（9）
xPQAcost
式中
（10）（11）
A和是两个待定的常量，利用参考圆方法，在t时刻平板振动的速度
2πT
vPQAsi
t
因t0时，xPQ0．vPQV，由（9）（11）（12）式可求得、、
（12）
A
2ghT2
（13）

3
π2
（14）
f2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛
把（13）（14）式代入（10）式，得、
xPQ
2ghπ2πTcost2πT2
（15）
碰撞后，小球开始作平抛运动．如果第一次碰撞后，小球再经过时间t2与平板发生第二次碰撞且发生在Q处，则在发生第二次碰撞时，小球的x座标为
12xBt2gt22
平板的x坐标为xPQt2
（16）
2ghπ2πTcost2（17）2π2T
（18）
在碰撞时，有xBt2xPQt2由（16）（17）（18）式，代入有关数据得、、
π2490t2441cosπt22
这便是t2满足的方程式，通过数值计算法求解方程可得（参见数值列表）
（19）
t20771s
如果第二次碰撞正好发生在平板的边缘Q处，则有Lu0t1t2由（1）（20）和（21）式得u0、（21）
（20）
L046mst1t2
（22）
而满足题中要求的u0的最小值应大于（22）式给出的值．综合以上讨论，u0的取值范围是
046msu0071ms
附：（19）式的数值求解用数值解法则要代入t2不同数值，逐步逼近所求值，列表如下：
（23）
t2
xPQ441cosπt2
2xB490t2
0730
0750
0760
0765
0770
0771
0772
0775
0780
0790
0810

π2

331
312
302
296
291
291
290
286
281
270
248
261
276
283
287
291
2910
291
294
298
306
321
xPQxB
070
036
019
009
0
001
008
017
036
073
二、参考解答：
4
f2007年第24届全国中学生物理竞赛复赛
解法一因为B点绕A轴作圆r