既满足完备性和协调性，故收敛。
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六、考虑等截面轴力杆单元，题图中分别示出2节点和3节点单元体，
1写出它们的位移插值函数；2推导这两种单元体的刚度矩阵；3对3节点单元体用静力凝聚法消去中间节点自由度，建立单元体刚度矩阵表达式。
解：⑴图a，
令

2xx1x2x2x1

2xx1x2L
，则有1
12
11
1。
故有，N1

l1
1



212

12
1



，
N
2



l1
2



121

11。2
图
b，令

2x
x1x3x1
x2

2x
x1L

x2
，则有1

12

03
11
1。
故有，
N1


l2
1



1

23213

12


1
N2


l22

2
13123

1
2
N3

l12


3
12132

12
1
⑵图
a：有应变矩阵
B

LN

dN1dx
dN2dx



dN1d
dN2d
d

dx

dNd
2。L
Ke
LBTDBdx
0
LdNTEAdNdx
0dx
dx
L2EAdNT0Ld
dNd
d

EAL
11
1
1

。
图
b：有应变矩阵
B

LN

dN1dx
dN1dx
dN1dx



dN1d
dN1d
dN1d
d

dx

dNd
2。L
1421
Ke
LBTDBdx
0
LdNTEAdNdx
0dx
dx
L2EAdNT0Ld
dNd
d

EA3L

2
16
8。
1814
f14
⑶
EA3L

2
216
18
u1u2


F1

F2

，有
2u1
16u2
8u3

3LEA
F2

u2


3LEA
F2

2u1
8u3
16
1814u3F3
代入14u1

2u2
u3

3LEA
F1与
u1
8u2
14u3

3LEA
F3，消去u2
，得：
EA3L
71

4
2
0

10
u1u3



F1F3

1812
F2F2

。
二、用最小势能原理推导平面弹性问题的有限元方程。解：利用最小势能（位能）原理推导平面弹性问题有限元方程，见课本P61。第二章课件也有。
三、如图所示的平面内部三角形单元网格每节点2个自由度，1用图中所给节点编号计算总刚矩阵的半带宽；2对节点重新编号，使结构总刚矩阵的半带宽最小，并说明此时中心节点主对角线上的元素在总刚矩阵中的行号和列号？3是否所有单元对中心节点主对角线上的元素都有非零贡献？4两种编号下，结构总刚矩阵中的非零元素是否相等？为什么？
解：⑴半带宽（相邻结点号码的最大差值1）自由度91216。
⑵中心节点元素编号为5，其余元素编号顺时针依次编写为14，69。此时中心节点对应主对角线
上的元素K99、K1010在总刚度矩阵中的行号、列号分别为第9行和第9列，第10行和第10列
⑶是。由于8个三角型单元均有一个节点是中心节点主对角线上元素，有
K
155

K
255

K
355

K
455

K
555

K565
K575
K585
均不为零，故所有单元对主对角线上元素都有非零贡献。
⑷两种编号方式，非零r