，X1X2X
1和
Y1Y2
Y
2分别是来自
X
和Y
的样本，且两个样本相互独立，X、Y
和
S
2X
、SY2
分别是
它们的样本均值和样本方差，证明
XY12S11
1
2
t
1
22，
其中S2


1

1S
2X

2
1SY2

1
22

证明：易知
XY
N1

2
2
1

2
2

，
由定理可知
UXY1211
1
2
N01．

1

1S
2X
2
2
11，

21SY22
2
21．
由独立性和2分布的可加性可得
V


1
1S
2X
2


2
1SY22
2
1
22．
f由U与V得独立性和t分布的定义可得
XY12
U
S11
1
2
V
1
22
t
1
22．

12

四、（本题
10
分）设总体X
的概率密度为
f
x



121


0
0xx1其中参其他，
数（01
未知，
X1，X
，
2
，X

是来自总体的一个样本，X
是样本均值，（1）求
参数的矩估计量；（2）证明4X2不是2的无偏估计量．
解：（1）
EX

xfxdx

xdx
1
xdx1，

02
2142
令XEX，代入上式得到的矩估计量为2X1．2
（2）
E4X
2

4EX
2

4DX

EX
2

4

1

DX

14

12

2


4

DX

14


，
因为DX0，0，所以E4X22．故4X2不是2的无偏估计量．
五、（本题10分）设总体X服从00上的均匀分布，X1X2X
是来自
总体X的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：X的密度函数为
fx01
0x
其他
似然函数为
L



1


0xii12


0
其它
显然0时，L是单调减函数，而maxx1x2x
，所以
maxX1X2X
是的极大似然估计．
六、（本题10分）设总体X服从B1p分布，X1X2X
为总体的样本，证明X
f是参数p的一个UMVUE．证明：X的分布律为
fxppx1p1xx01．
容易验证fxp满足正则条件，于是
另一方面
Ip

E

p
l

f
x
2p


1p1
p
．
VarX1VarXp1p1，



Ip
即X得方差达到CR下界的无偏估计量，故X是p的一个UMVUE．
七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布N02，由以前的观测可知
056．现有一台新仪器用它对该区进行磁测抽测了16个点得x61s2400
问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异α005．附表如下：
t分布表
χ2分布表

α01α005α0025141345017613214481513406175312131516133681745921199

α01α005α0025142106423685261191522307249962748816233422429628845
解：设H0：056．构造检验统计量
tX0t15，s



确定拒绝域的形式tt．由005r