直线
3522x2131AByx，即2x2ky3k0，代入y21整理得：3k22
4k212y24kk3yk32120，由AB中点在直线ykx1上求得k1而这时直
线yx1过点A，由此得k1也不成立，所以不存在k满足条件
3122
【数学文卷2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】20（本题满分12分）设椭圆C：
x2y21xy21ab0的离心率e，右焦点到直线1的距离22abab
d
21，O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；7
（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于AB两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值。【知识点】椭圆及其几何性质H5
x2y242112【答案解析】1437
6
f：（I）由e
c11xy21得即a2c，∴b3c．由右焦点到直线1的距离为d，a22ab7

得
bcaba2b2
x2y2211，解得a2，b3．所以椭圆C的方程为437
22
2设Ax1y1Bx2y2，当直线AB的斜率不存在时，x2x1y1y2y1y2，又
x12y12122212211，解得x1，即O到直线AB的距离d，当直线的斜率43777
存在时，直线AB的方程为ykxm与椭圆
x2y21联立消去y得43
3x24k2x22kmm2120，
x1x28km4m212OAOBx1x2y1y20，xx1234k234k2
x1x2kx1mkx2m0即
k21x1x2kmx1x2m20k21
7m212k21O到直线AB的距离
dm1k
2
4m2128k2m2m20，整理得2234k34k

12221OAOBOA2OB2AB22OAOB当且仅当77
AB2421OAOB时取“”有dABOAOB得dABOAOBAB2d即27
弦AB的长度的最小值是
4217
【思路点拨】（I）利用离心率求得a和c的关系式，同时利用点到直线的距离求得a，b和c的关系最后联立才求得a和b，则椭圆的方程可得．（II）设出A，B和直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1x2和x1x2，利用OA⊥OB推断出x1x2y1y20，求得m和k的关系式，进而利用点到直线的距离求得O到直线AB的距离为定值，进而利用基本不等式求得OAOB时AB长度最小，最后根据dABOAOB≤
AB2求得AB的坐标值．2
7
f2015届湖南省浏阳一中、【数学文卷攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411）】20（本小题满分13分）已知椭圆C的对称中心为r