原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2，且F1F22，点（1，
3）在该椭圆上．2
（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AF2B的面积为且与直线l相切圆的方程．【知识点】椭圆的概念；直线与椭圆H5H8【答案】【解析】1
122，求以F2为圆心7
x2y2（1）椭圆C的方程为12x12y22解析：43
．．（4分）
x2y2143
（2）①当直线l⊥x轴时，可得A（1，意．
33），B（1，），AF2B的面积为3，不符合题22
（6分）
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk（x1）．代入椭圆方程得：
34k2x28k2x4k2120，显然＞0成立，设Ax1y1，Bx2y2，则
x1x2
12k218k28k212，，可得AB．．（9分）xx1234k234k234k2
又圆F2的半径r
2k1k
2
，∴AF2B的面积
112kk21122，化简得：ABr2734k2
17k4k2180，得k±1，∴r2，圆的方程为x12y22．．（13分）【思路点拨】由题中所给的条件可直接列出椭圆方程，再由直线与椭圆的位置关系可求出k与r的值，最后列出所求圆的方程即可
8
fH6
双曲线及其几何性质
【数学理卷2015届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（201411）】11．若曲线fx，y＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线fx，y＝0的“自公切线”．下列方程：①x－y＝1；②y＝x－x；③y＝3si
x＋4cosx；④x＋1＝4－y对应的曲线中存在“自公切线”的有A．①②B．②③C．①④D．③④
2222
【知识点】双曲线及其几何性质周期性B4H6
11x224【答案解析】B①x2y21是一个等轴双曲线，没有自公切线；②yx2x，x12124
111和x处的切线都是y，故②有自公切线．③y3si
x4cosx5si
（xφ），22434cosφ，si
φ，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点55
在x的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于x1象可得，此曲线没有自公切线．故答案为B．【思路点拨】①x2y21是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在x是y
4y2，即x22xy230，结合图
11和x处的切线都22
1，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的4
最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线．
【数学理卷2r