xxx
y

2zx2

x
zx
fyyx
y

2zy2

y
zy
fxyx
y

2zxy
z
yx
fyxx
y

2zyx


z
xy
结论：当fxyxy和fyxxy为xy的连续函数时，
则：fxyxyfyxxy
㈧二元函数的无条件极值1二元函数极值定义：
设zxy在x0y0某一个邻域内有定义，
若zxyzx0y0或zxyzx0y0
则称zx0y0是zxy的一个极大或极小值
称x0y0是zxy的一个极大或极小值点。
极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。
2极值的必要条件：
若zfxy在点x0y0有极值，且在x0y0
两个一阶偏导数存在，则：
fxx0y00fyx0y00★1使fxx0y0fyx0y00的点x0y0，
称为zfxy的驻点。
24
f2定理的结论是极值存在的必要条件，
而非充分条件。
例：zy2x21
zx2x0zy2y0
解出驻点
x0y0

00
z001
当x0y0时，z0yy211
当x0y0时，zx0x211
∴驻点不一定是极值点。
e极值的充分条件：
设：函数yfxy在x0y0的某个领域内
有二阶偏导数，且x0y0为驻点，
若：pfxyx0y02fxxx0y0fyyx0y0
当
：p

0且
ff
xxxx

x0x0

y00时，y00时，
fx0y0为极大值。fx0y0为极小值。
当：p0fx0y0不是极值。
当：p0不能确定。
求二元极值的方法：
1求一阶偏导数，令两个一阶偏导数等于零，
解出驻点。
2求出p根据极值的充分条件，判断驻点是否是
极值点。
3若驻点是极值点，求出极值。
25
f二倍角公式：含万能公式
①si
2

2si

cos

2tg1tg2
②cos2

cos2
si
2

2cos2
11
2si
2

1tg21tg2
③tg2

2tg1tg2
④si
2

1
tg2tg2
1cos22
⑤cos21cos2
2
第五章排列与组合（1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。（2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能完成。
排列：从
个不同元素里，任取1m
个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从
个不同元素
里取出m个元素的一个排列，计算公式：
m



P
1
2
m1
规定P
01


m


26
f组合：从
个不同元素里，任取1m
个元素组成一组，叫做从
个不同元素里取出m个元素的
m
C或（）
一个组合，组合总数记为

，计算公式：
m
1
2
m1
C



0
规定C1


m
m
m


m

m

m
mm1
组合的性质：CC
m＞C
CC



2
1



Pm
m
mmm
PCP或C




m
Pm
m
第六章概率论符号r