2

xa
ftdtx

fxx
3

2x1x
f
t
dt
x

f
2x
2x
f
1x
1x
三定积分的应用1平面图形的面积
1由yfx0xaxbab
与x轴所围成的图形的面积y
fx
b
safxdx
2由y1fxy2gxfg
与xaxb所围成的图形的面积
s

b
a

f

x

g
xdx
3由x1yx2y与ycyd所围成的图形的面积
s

d
c


y



ydy
4求平面图形面积的步骤：
①求出曲线的交点，画出草图；②确定积分变量，由交点确定积分上下限；③应用公式写出积分式，并进行计算。2旋转体的体积
20
f1曲线yfx0与xaxb
及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积：
Vx

ba
f2xdx
0
a
b
x
2由曲线xy0与ycyd
及y轴所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积：
Vy

d2ydy
c
第四章多元函数微积分初步§41偏导数与全微分一主要内容：
㈠多元函数的概念c二元函数的定义：
zfxyxyD
定义域：Df
d二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）
㈡二元函数的极限和连续：1极限定义：设zfxy满足条件：
21
f1在点x0y0的某个领域内有定义。
（点x0y0可除外）
2limfxyAxx0yy0
则称zfxy在x0y0极限存在，且等于A。
2连续定义：设zfxy满足条件：
1在点x0y0的某个领域内有定义。
2limxx0
fxy
fx0y0
则称z
fxy在x0y0处连续。
yy0
㈢偏导数：
定义fxy在x0y0点
fxx0y0
lim
x0
fx0
x
y0x
fx0y0
fyx0
y0
lim
y0
fx0
y0
yy
fx0
y0
fxx0y0fyx0y0分别为函数fxy在x0y0处对xy的偏导数。
zfxy在D内任意点xy处的偏导数记为：
fxx
y

f
xx
y

zx

zx
fyx
y

f
xy
y

zy

zy
㈣全微分：1定义：zfxy
若zfxxyyfxy
AxByo
其中，A、B与x、y无关，o（）是比
22
fx2y2较高阶的无穷小量。
则dzdfxyAxBy
是zfxy在点xy处的全微分。
3全微分与偏导数的关系
定理：若fxxyfyxy连续，xyD则：zfxy在点xy处可微且dzfxxydxfyxydy
㈤复全函数的偏导数：
1设：zfuvuuxyvvxy
zfuxyvxy
则：zzuzvxuxvx
zzuzvyuyvy
2设yfuvuuxvvx
yfuxvxdyyduydvdxudxvdx
㈥隐含数的偏导数：
1设Fxyz0zfxy且Fz0则zFxzFy
xFzyFz
23
f2设Fxy0yfx且Fy0
则dyFxdxFy
㈦二阶偏导数：
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