任选一函数
为u，其余记作dv简称“指三任选”。㈣简单有理函数积分：
1
有理函数：
f
x
PxQx
其中Px和Qx是多项式。
2简单有理函数：
Px
Px
⑴fx1xfx1x2
Px⑵fxxaxb
⑶
f
x

x
Pxa2
b
16
f§32定积分一．主要内容
（一）重要概念与性质1定积分的定义：
limb


afxdxx0i1fixi


ixi1xi
fxOax1x2xi1ξixix
1bx
定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于x轴，曲线yfx直线xaxb之间各部分面积的代数和。x轴上方的面积取正号，x轴下方的面积取负号。
2定积分存在定理：
设：yfxxab
y


a0
bx
若：fx满足下列条件之一
1fx连续，xab2fx在ab上有有限个第一类间断点
3fx在ab上单调有界则：fx在ab上可积。
若积分存在，则积分值与以下因素无关：
1与积分变量形式无关，即
b
fxdx
b
ftdt
a
a
2与在ab上的划分无关，即ab可以任意划分
3
与
点
的
i
选
取
无
关
，
即i
可
以
在
x
i
1
xi
上任意选取。
积分值仅与被积函数fx与区间ab有关。
3牛顿莱布尼兹公式：
17
f若Fx是连续函数fx在ab上的任意一个原函数：
则：ba
f
xdx

Fx
ba

Fb
Fa
牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函
数及计算差量的问题。
4原函数存在定理：
若fx连续，xab
则：x
x
ftdt
a
xab
x是fx在ab上的一个原函数，
且：x
x
ftdt
fx
a
5定积分的性质：
设fxgx在ab上可积，则：
1
b
kfxdxk
b
fxdx
a
a
2
b
fxdx
a
fxdx
a
b
3
bfxgxdx
b
fxdx
b
gxdx
a
a
a
4
a
fxdx0
a
5
b
fx
c
b
fxdxfxdx
acb
a
a
c
6
b
1dxba
a
y
y
fx
1
ygx
fx
0acbx0a
bx0a
bx
18
f7fxgxaxb
则bfxdx
b
gxdx
a
a
8估值定理：
b
mbaafxdxMba
其中mM分别为fx在ab上的最小值和最大值。
y
M
fx
m
0a
yfx
bx0aξ
bx
9积分中值定理：
若fx连续xab则：必存在一点ab
使bfxdxfbaa
（二）定积分的计算：1换元积分
设fx连续，xab，xt
若t连续，t
且当t从变到时，t单调地从a变到bab
则：ba
fxdx



fttdt
19
f2分部积分
budvuvb
b
vdu
a
aa
3广义积分

0

fxdxfxdxfxdx


0
4定积分的导数公式
1（
xa
ftdtx

fx
r