存在最大值与最小值。
y
y
M
M
fx
fx
0a
b
x
m
Mx
0
a
b
a有界定理：
fx在ab上连续fx在ab上一定有界。
3介值定理：
fx在ab上连续在ab内至少存在一点
，使得：fc，
其中：mcM
y
y
M
fx
C
fx
0a
ξ
b
x
m
0aξ1
ξ2b
x
推论：
fx在ab上连续，且fa与fb异号在ab内至少存在一点，使得：f0。
b初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。
7
f第二章一元函数微分学§21导数与微分一、主要内容㈠导数的概念
1．导数：yfx在x0的某个邻域内有定义，
ylim

lim
fx0x
fx0
x0xx0
x
limfxfx0
xx0
xx0
y
xx0
fx0
dydx
xx0
2．左导数：
fx0
lim
xx0
fxfx0xx0
右导数：
fx0

lim
x

x
0
fxfx0xx0
定理：fx在x0的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
则：
fx0
lim
xx0
fx
（或：
fx0
lim
xx0
fx）
3函数可导的必要条件：
定理：fx在x0处可导
fx在x0处连续
4函数可导的充要条件：
定理：yxx0fx0存在fx0fx0，
且存在。
5导函数：yfxxab
fx在ab内处处可导。
6导数的几何性质：
fx0是曲线yfx上点
Mx0y0处切线的斜率。
㈡求导法则1基本求导公式：2导数的四则运算：
8
yfx0
y
ox0
fx
x
x
f1o（uvuv
2o（uvuvuv
3o

u

v

uvuvv2
3复合函数的导数：
v0
yfuuxyfx
dy

dydu，或

fx
fxx
dxdudx
☆注意fx与fx的区别：
xfx表示复合函数对自变量求导；
fx表示复合函数对中间变量x求导。
4高阶导数：fxfx或f3x
f
xf
1x
234
函数的
阶导数等于其
1导数的导数。㈢微分的概念
x1微分：fx在的某个邻域内有定义，
yAxxox
其中：Ax与x无关，ox是比x较高
ox
阶的无穷小量，即：lim
0
x0x
x则称yfx在处可微，记作：
dyAxx
dyAxdx
x0
2导数与微分的等价关系：
xx定理：fx在处可微fx在处可导，
且：fxAx
9
f3微分形式不变性：
dyfudu
不论u是自变量，还是中间变量，函数的
dy微分都具有相同的形式。
§22中值定理及导数的应用一、主要内容㈠中值定理
fx1罗尔定理
满足条件
1200在在aabb上内连可续导；
在ab内至少
存在一点
30fa
fb

使得f0
y
f
fx
aoξ
bx
a
oξ
fx2拉格朗日定理：
满足条件
在ab内至少存
1r