z
（
1、2、3…）
且：
lim

y


lim

z

a
则：
lim

x


a
2．函数极限存在的判定准则：
设：对于点x0的某个邻域内的一切点（点x0除外）有：
gxfxhx
且：limgxlimhxA
xx0
xx0
则：limfxAxx0
3
f㈣极限的运算规则
若：limuxAlimvxB则：①limuxvxlimuxlimvxAB
②limuxvxlimuxlimvxAB
③limuxlimuxAlimvx0
vxlimvxB
推论：①limu1xu2xu
xlimu1xlimu2xlimu
x
②limcuxclimux
③limux
limux

㈤两个重要极限
1．limsi
x1x0x
si
x
或limx0
x
1
2．lim11xe
x
x
§13连续一、主要内容
㈠函数的连续性
1
lim1xxe
x0
1函数在x0处连续：fx在x0的邻域内有定义，
1olimyx0

lim
x0
f
x0
x
f
x0
0
2o
lim
xx0
fx
fx0
左连续：
lim
xx0
fx
fx0
右连续：
lim
xx0
fx
fx0
2函数在x0处连续的必要条件：
定理：fx在x0处连续fx在x0处极限存在
4
f3函数在x0处连续的充要条件：
定理：limxx0
fx
fx0
lim
xx0
fx
lim
xx0
fx
fx0
4函数在ab上连续：fx在ab上每一点都连续。
a在端点和b连续是指：
limfxfa左端点右连续；
xa
limfxfb右端点左连续。
xb
a0b
x
5函数的间断点：
若fx在x0处不连续，则x0为fx的间断点。
间断点有三种情况：
1ofx在x0处无定义；
2olimfx不存在；xx0
3o
f

x
在
x0
处有定义，且
lim
xx0
fx存在，
但limxx0
fx
fx0。
两类间断点的判断：
1o第一类间断点：
特点：
lim
xx0
f
x
和
lim
xx0
fx都存在。
可去间断点：
lim
xx0
fx存在，但
lim
xx0
fx
fx0，或
fx在x0处无定义。
5
f2o第二类间断点：
特点：
lim
xx0
f

x
和
lim
xx0
fx至少有一个为∞，
或limfx振荡不存在。xx0
无穷间断点：
lim
xx0
f

x
和
lim
xx0
fx至少有一个为∞
㈡函数在x0处连续的性质
1连续函数的四则运算：
设
lim
xx0
f
x
f
x0

，
lim
xx0
gx
gx0
1o
limfxgx
xx0
fx0gx0
2o
limfxgx
xx0
fx0gx0
3o
lim
xx0
fxgx
fx0gx0
limgx0
xx0

2复合函数的连续性：
yfuuxyfx
lim
xx0


x


x0

lim
ux0
fu

fx0
则：limxx0
fx
flimxxx0
fx0
3反函数的连续性：
yfxxf1xy0fx0
lim
xx0
fx
fx0
lim
yy0
f
1y
f
1y0
6
f㈢函数在ab上连续的性质
1最大值与最小值定理：
fx在ab上连续fx在ab上一定r