,在△ABC中,∠ACB90°,ACBC2,将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△AB′C,其中点B的运动路径为,则图中阴影部分的面积为π.
【分析】利用弧长公式L
,计算即可;
【解答】解:△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△AB′C,此时点A′在斜边AB上,CA′⊥AB,∴∠ACA′∠BCA′45°,∴∠BCB′135°,
∴S阴
π.
【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
f15.(3分)如图,∠MAN90°,点C在边AM上,AC4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为4或4.
【分析】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠AEF90°时,如图1,根据对称的性质和平行线可得:ACAE4,根据直角三角形斜边中线的性质得:BC2AB8,最后利用勾股定理可得AB的长;②当∠AFE90°时,如图2,证明△ABC是等腰直角三角形,可得ABAC4.【解答】解:当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠AEF90°时,如图1,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴ACAC4,∠ACB∠ACB,∵点D,E分别为AC,BC的中点,∴D、E是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE∠MAN90°,∴∠CDE∠AEF,∴AC∥AE,∴∠ACB∠AEC,∴∠ACB∠AEC,∴ACAE4,Rt△ACB中,∵E是斜边BC的中点,∴BC2AB8,
f由勾股定理得:AB2BC2AC2,
∴AB
4;
②当∠AFE90°时,如图2,∵∠ADF∠A∠DFB90°,∴∠ABF90°,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴∠ABC∠CBA45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴ABAC4;综上所述,AB的长为4或4;故答案为:4或4;
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质,并利用分类讨论的思想解决问题.
三、计算题(本大题共8题,共75分,请认真读题)
16.(8分)先化简,再求值:(1)÷
,其中x1.
f【分析】根据分式的运算法则即可求出答案,【解答】解:当x1时,原式1x【点评】本题考查分式的运算,解题的关键是熟练运用分式的运算法则,本题属于基础题型.
17.(9分)每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民r