交，即内积为零2）证各向量都是单位向量，即长度为14、计算两向量的内积、向量间的夹角及距离5、把给定向量组标准正交化步骤：1）判断向量组的线性相关性，只有线性无关的向量组才能标准正交化2）正交化（施密特正交化方法）3）标准化vi＝βi‖βi‖
f6、证明有关正交矩阵的命题7、正交矩阵的判定1）定义法：若AAT＝I
kkA为正交阵若AATDI
kkA不是正交阵该方法多用于抽象矩阵的证明。2）
阶方阵A是正交阵kkA的
个行向量（或列向量）构成R
的一组标准正交基kkA的行（列）向量都是单位向量且两两正交该方法多用于给出具体数值的矩阵。第五章特征值与特征向量一、重点1、理解：特征值与特征向量的概念及其基本性质。相似矩阵的概念与性质，矩阵相似于对角阵的条件。约当型矩阵。2、掌握：计算特征值与特征向量的方法。求相似的对角阵。二、难点相似对角化及其应用。三、重点难点解析1、矩阵的特征值与特征向量的概念、性质1）概念注意：①若λ是A的特征值，则│λIA│＝D，因此λIA是不可逆矩阵②若λ不是A的特征值，则│λIA│DD，因此λIA是可逆矩阵③特别地，D是A的特征值kk│A│＝DkkA不可逆④Ax＝D的基础解系就是λ＝D的线性无关的特征向量⑤对
阶阵A，若rAk1，则λ1＝∑aiiλ2kλ3k…kλ
kD2）性质①若x1，x2都是特征值λi所对应的特征向量，则x1，x2的线性组合k1x1k2x2（非零）仍是属于λi的特征向量。λi的特征向量不是唯一的，反过来，一个特征向量只能属于一个特值。②不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当λi是A的k重特征值时，A属于λi的线性无关的特征向量的个数不超过k个。③特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵A行列式的值。2、相似矩阵的概念及性质1）概念2）性质若A～BkkAT～BTkkA－1～B－1（若A、B均可逆）kkAk～Bk（k为正整数）kk│λIA│＝│λIB│，从而A、B有相同的特征值kk│A│＝│B│，从而A、B同时可逆或不可逆kkrA＝rB3、矩阵可相似对角化的充要条件
f1）相似对角化的概念2）充要条件A与对角阵相似kkA有
个线性无关的特征向量kkA的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数3）A与对角阵相似的充分条件是A有
个不同的特征值4、对称矩阵的相似1）实对称阵必可对角化2）特征①特征值全是实数，特征向量都是实向量②不同特征值的特征向量互相正交③k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有rλIA＝
k四、题型及解题思r