利用对称性“巧妙解题”两例
云南省曲靖市会泽县大井镇第二中学（654222）高德金
二次函数的图象抛物线是轴对称图形，对称轴为x
22和点
B

50求出抛物线对应的函

b，由对称性可知有如下2a
数解析式，再令y0，求出抛物线与x轴的两交点的横坐标，然后舍去一个得解，这样运算量比较大，且相对麻烦。例2：抛物线yaxbxc经过点
2
两条性质：1．若抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为x10、x20，可得抛物线对称轴是x
x1x2。2
A35，B



75，C29，则该

2．若抛物线上两点的坐标分别为
x1y0、x2y0，则抛物线的对称轴方
程是x
抛物线上纵坐标为9的另一点的坐标是。解析：由点A35，B
x1x2。2



75的

纵坐标相同，可知点A、B是抛物线上的两个对称点，且对称轴方程为x
利用抛物线的这两条性质可以巧解许多与二次函数有关的问题。下面的例子，旨在抛砖引玉。例1：如图（1）抛物线的对称轴是x2，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为
37，2
于是设该抛物线上纵坐标为9的另一点的坐标为x29，则有解得x2

50，则点A的坐标是
y2

372x2，22
。
解析：由抛物线的对称性知，A、B两点关于直线x2对称，设点A的坐标是
732，所以该抛物线上纵
坐标为9的另一点的坐标是

A2Bx图（1）
7329。

O
x10，则有
x152，2
所以x145，即点A的坐标是450。注：此例若用普通解法，则需由顶点
注：本题两次运用抛物线的对称性，较在限度地降低了难度及运算量。常规解法是：A、C三点的坐标列出关于abc由B、的三元一次方程组，求出抛物线对应的函数关系式，再令y9，解关于x的一元二


次方程，选出不同于2的根，得出答案。这样解题过程烦琐，且有无理数参加运算，化简不易，容易出错，。利用抛物线的对称性可以简捷地得到答案。
1
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