向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合
（1）OAOBOC0O是ABC的重心
证法1：设OxyAx1y1Bx2y2Cx3y3
OAOBOC0

x1y1

xy

x2y2
xx3x0yy3y0

x

y

x1y1
x2x33y2y33
O是ABC的重心
证法2：如图
A
OAOBOC
OA2OD0
AO2OD
A、O、D三点共线，且O分AD
为2：1
B
O是ABC的重心
O
E
D
C
（2）OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足
OAOBOBOCOBOAOCOBCA0
A
OBAC
同理OABC，OCABO为ABC的垂心
EO
B
D
C
（3）设abc是三角形的三条边长，O是ABC的内心
aOAbOBcOC0O为ABC的内心
证明：AB、AC分别为AB、AC方向上的单位向量，cb
ABAC平分BACcb
AOABAC，令bc
cb
abc
fAObc（ABACabccb
化简得abcOAbABcAC0aOAbOBcOC0
（4）OAOBOCO为ABC的外心。
典型例题：
例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOAABAC，0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）
A．外心
B．内心
C．重心
分析：如图所示ABC，D、E分别为边BC、AC的
中点
D．垂心A
ABAC2AD
E
OPOA2AD
OPOAAPAP2AD
B
D
C
APAD点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C
例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P
满足OPOAABAC，0，则点P的轨迹一定通过ABC的（B）
ABAC
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
分析：AB、AC分别为AB、AC方向上的单位向量，ABAC
ABAC平分BACABAC
点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B
例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOAABAC，0，则点P的轨迹一定通过ABC的
ABcosBACcosC
f（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足
ABACBCABcosBACcosC
AE
ABBCACBCABcosBACcosC
ABBCcosBACBCcosC


ABcosB
ACcosC
B
D
C
BCBC0点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D
练习：
1．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PAPBPr