模)已知:在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C90°,ABAD25,BC32.连接BD,AE⊥BD垂足为E.(1)求证:△ABE∽△DBC;(2)求线段AE的长.
【考点】相似三角形性质、判定M33M勾股定理M33E等腰三角形的性质和判定M339直角梯形
【难易度】容易题【分析】(1)因为ABAD,得△ABD是等腰三角形,由等腰三角形的性质可知∠ABD∠ADB,由AD∥BC可知,∠ADB∠DBC,由此可得∠ABD∠DBC,又因为∠AEB∠C90°,利用“AA”可证△ABE∽△DBC;(2)由等腰三角形的三线合一性质可知AE是△ABD的中线,所以BD2BE,根据
△ABE∽△DBC,利用相似比得:
带入AB25,BD2BE,BC32,得:
,
,
得BE20。在Rt△ABE中,利用勾股定理求AE
【解答】(1)证明:∵ABAD25,∴∠ABD∠ADB,∵AD∥BC,∴∠ADB∠DBC,∴∠ABD∠DBC,∵AE⊥BD,∴∠AEB∠C90°,∴△ABE∽△DBC;
2分
4分5分
(2)解:∵ABAD,又AE⊥BD,∴BEDE,∴BD2BE,由△ABE∽△DBC,
得
,
∵ABAD25,BC32,
∴
,
∴BE20,
∴AE
.
7分8分10分
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f【点评】本题考查了等腰三角形的性质、判定,相似三角形的判定与性质,属于容易题。关键是要懂得找相似三角形,利用相似三角形的性质及勾股定理解题.
22.(10分)(2013普陀区一模)一艘轮船自西向东航行,在A处测得东偏北213°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B处,测得小岛C此时在轮船的东偏北635°方向上.之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C最近?(参考数据:si
213°≈,
ta
213°≈,si
635°≈,ta
635°≈2)
【考点】方向角M366解直角三角形M364锐角的三角比的概念(正切、余切、正弦、
余弦)M361【难易度】容易题【分析】如右图,过C作AB的垂线,交直线AB于点D,设CDx海里,在Rt△BCD中,
因为ta
∠CBD,所以BD
,同理在Rt△ACD中,ta
A,AD
,
因为ADBDAB,即
60,解得:x30.结合BD
,
从而求得BD
15,即继续航行15海里离小岛C距离最近.
【解答】解:过C作AB的垂线,交直线AB于点D,得到Rt△ACD与Rt△BCD.
设CDx海里,在Rt△BCD中,ta
∠CBD,
∴BD
,
2分
在Rt△ACD中,ta
A,
∴AD
,
4分
∴ADBDAB,即
60,
解得,x30.
BD
15
答:轮船继续向东航行15海里,距离小岛C最近.
6分9分10分
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f【点评】本题考查了解直角三角形,属于容易题。求三角形的边或r