角形，且PA＝AD，
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f∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A000，B200，C220，D020，P002，E001，F011，
G120．
→→→∴PB＝20，－2，FE＝0，－10，FG＝11，－1，→→→设PB＝sFE＋tFG，即20，－2＝s0，－10＋t11，－1，
t＝2，∴t－s＝0，－t＝－2，
→→→∴PB＝2FE＋2FG，
解得s＝t＝2，
→→又∵FE与FG不共线，→→→∴PB，FE与FG共面．∵PB平面EFG，∴PB∥平面EFG
利用空间向量证明垂直问题
2017开封模拟如图774，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB求证：平面BCE⊥平面CDE【导学号：79140249】
图774
证明设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A000，
C2a00，B00，a，Da，3a0，Ea，3a2a．
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f→→→→所以BE＝a，3a，a，BC＝2a0，－a，CD＝－a，3a0，ED＝00，－2a．设平面BCE的法向量为
1＝x1，y1，z1，→→由
1BE＝0，
1BC＝0可得
ax1＋3ay1＋az1＝0，2ax1－az1＝0，
即
x1＋3y1＋z1＝0，2x1－z1＝0
令z1＝2，可得
1＝1，－3，2．设平面CDE的法向量为
2＝x2，y2，z2，→→由
2CD＝0，
2ED＝0可得
－ax2＋3ay2＝0，－2az2＝0，－x2＋3y2＝0，即z2＝0
令y2＝1，可得
2＝3，10．因为
1
2＝1×3＋1×－3＝0所以
1⊥
2，所以平面BCE⊥平面CDE
若本例中条件不变，点F是CE的中点，证明DF⊥平面BCE证明由例2知C2a00，Ea，3a2a，平面BCE的法向量
1＝1，－3，2．∵点F是CE的中点，∴F→a3a∴DF＝，－，a22→a→∴DF＝
1，∴DF∥
1，2故DF⊥平面BCE3a3a，，a，22
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f规律方法1利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键2用向量证明垂直的方法1线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示3面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示跟踪训练如图775所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，
AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD
图775证明：1PA⊥BD；2平面PAD⊥平面PAB证明1取BC的中点O，连接PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，∴PO⊥底面ABCD
以Br