C的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，
OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝3∴A1，－20，B100，D－1，－10，P00，3．→→∴BD＝－2，－10，PA＝1，－2，－3．→→∵BDPA＝－2×1＋－1×－2＋0×－3＝0，→→∴PA⊥BD，∴PA⊥BD
7
f312取PA的中点M，连接DM，则M，－1，22→33→∵DM＝，0，，PB＝10，－3，223→→3∴DMPB＝×1＋0×0＋×－3＝0，22→→∴DM⊥PB，即DM⊥PB3→→3∵DMPA＝×1＋0×－2＋×－3＝0，22→→∴DM⊥PA，即DM⊥PA．又∵PA∩PB＝P，∴DM⊥平面PAB∵DM∴平面PAD⊥平面PAB平面PAD，
利用空间向量解决探索性问题
2018北京东城区综合练习二如图776，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF，EF∥AB，M为BC的中点．
图7761求证：FM∥平面BDE；2求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；3在棱CF上是否存在点G，使BG⊥DE？若存在，求由．解1证明：取CD的中点N，连接MN，FN
CG的值；若不存在，请说明理CF
8
f因为N，M分别为CD，BC的中点，所以MN∥BD又BD平面BDE且MN平面BDE，
所以MN∥平面BDE因为EF∥AB，AB＝2EF，所以EF∥CD，EF＝DN所以四边形EFND为平行四边形，所以FN∥ED又ED平面BDE且FN平面BDE，
所以FN∥平面BDE又FN∩MN＝N，所以平面MFN∥平面BDE又FM平面MFN，
所以FM∥平面BDE2取AD的中点O，连接EO，BO因为EA＝ED，所以EO⊥AD因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，EO⊥BO因为AD＝AB，∠DAB＝60°，所以△ADB为等边三角形．因为O为AD的中点，所以AD⊥BO
因为EO，BO，AO两两垂直，设AB＝4，以O为原点，OA，OB，OE为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系Oxyz由题意，得A200，B023，0，C－423，0，D－200，E0023，
9
fF－1，3，23．
→→
CF＝3，－3，23，DE＝2023，BE＝0，－23，23．
设平面BDE的法向量为
＝x，y，z．→
BE＝0，则→
DE＝0，
→
即
y－z＝0，x＋3z＝0
令z＝1，则y＝1，x＝－3所以
＝－3，11．设直线CF与平面BDE所成角为α，→CF
10→si
α＝cos〈CF，
〉＝＝→10CF
所以直线CF与平面BDE所成角的正弦值为1010
→→3设G是CF上一点，且CG＝λCF，λ∈01．因此点G3λ－4，－3λ＋23，23λ．→
BG＝3λ－4，－3λ，23λ．
4→r