当x＝0时，y′＝2，代入解得a＝3x＋1【2014陕西卷】设函数fx＝l
1＋x，gx＝xf′x，x≥0，其中f′x是fx的导函数．1令g1x＝gx，g
＋1x＝gg
x，
∈N＋，求g
x的表达式；2若fx≥agx恒成立，求实数a的取值范围；3设
∈N＋，比较g1＋g2＋…＋g
与
－f
的大小，并加以证明．
12
fx1＋kxgk（x）x那么，当
＝k＋1时，gk＋1x＝ggkx＝＝＝，即结1＋gk（x）x1＋（k＋1）x1＋1＋kx论成立．由①②可知，结论对
∈N＋成立．ax2已知fx≥agx恒成立，即l
1＋x≥恒成立．1＋xax设φx＝l
1＋x－x≥0，1＋x1ax＋1－a则φ′x＝－＝，1＋x（1＋x）2（1＋x）2当a≤1时，φ′x≥0仅当x＝0，a＝1时等号成立，∴φx在0，＋∞上单调递增，又φ0＝0，∴φx≥0在0，＋∞上恒成立，∴a≤1时，l
1＋x≥ax恒成立仅当x＝0时等号成立．1＋x
当a1时，对x∈0，a－1有φ′x0，∴φx在0，a－1上单调递减，∴φa－1φ0＝0即a1时，存在x0，使φx0，
13
fax故知l
1＋x≥不恒成立．1＋x综上可知，a的取值范围是－∞，1．12
3由题设知g1＋g2＋…＋g
＝＋＋…＋，23
＋1比较结果为g1＋g2＋…＋g
－l
＋1．证明如下：
即结论成立．由①②可知，结论对
∈N＋成立．111方法二：上述不等式等价于＋＋…＋l
＋1，23
＋1x在2中取a＝1，可得l
1＋x，x01＋x1
＋11令x＝，
∈N＋，则l

＋11故有l
2－l
1，21l
3－l
2，3……1l
＋1－l
，
＋1111上述各式相加可得l
＋1＋＋…＋，23
＋1结论得证．
14
fxx12方法三：如图，
dx是由曲线y＝，x＝
及x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋x＋1x＋1230＋…＋
是图中所示各矩形的面积和，
＋1
12
x∴＋＋…＋
dx＝23
＋1x＋01
1－1dx＝
－l
＋1，
0x＋1
结论得证．【2014四川卷】设等差数列a
的公差为d，点a
，b
在函数fx＝2x的图像上
∈N．1若a1＝－2，点a8，4b7在函数fx的图像上，求数列a
的前
项和S
；a
12若a1＝1，函数fx的图像在点a2，b2处的切线在x轴上的截距为2－，求数列l
2b
的前
项和T

11由题意有a2－＝2－，解得a2＝2l
2l
2所以d＝a2－a1＝1
15
f2
＋1－
－2所以，T
＝2

1设曲线y＝eax－l
x＋1在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝A0B1C2D3

1【解析】∵y＝eax－l
x＋1，∴y′＝aeax－，∴当x＝0时，y′＝a－1∵曲线yx＋1＝eax－l
xr