13）和（12115）中的r和r0对调，并利用格林函数的对称性，（12113）成为
vvvvvvvGrr0ur∫∫∫Grr0fr0dV0∫∫r0dS0
0TΣ（12119）
这就是第一边值问题解的积分表示式（12115）成为第一边值问题解的积分表示式。第一边值问题解的积分表示式
1vvvvvvvur∫∫∫Grr0fr0dV0∫∫Grr0r0dS0
T
α
Σ
（12120）
这就是第三边值问题解的积分表示式第三边值问题解的积分表示式。第三边值问题解的积分表示式（12119）和（12120）的物理意义就很清楚了，右边第一个积分表示区域T中分布的源f（r0）在r点产生的场的总和。第二个积分则代表边界上的状况对r点场的影响的总和。两项积分中的格林函数相同。这正说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场。现在来证明格林函数的对称性。T中任取两个定点r1和r2。在以这两点为中心，各作半径为ε的球面Σ1和Σ2。从T挖去Σ1和Σ2所围的球K1和K2。在剩下的区域T－K1－K2上，G（r，r1）和G（r，r2）并无奇点。以u＝G（r，r1），v＝G（r，r2）代入格林公式（1213）
ΣΣ1Σ2
∫∫
uvuvdS∫∫∫uvvudV
TKK
12
5
f由于G（r，r1）和G（r，r2）是调和函数，上式右边为零。又由于格林函数的边界条件，上式左边
∫∫0
Σ
。这样
∫∫u
v
dS∫∫u
v
dS0
Σ1Σ2
v
u
v
u
令ε→0，上式成为0－v（r1）＋u（r2）－0＝0，即G（r1，r2）＝G（r2，r1）。对于拉普拉斯方程，（1214）即式右边的（r）f≡0，这时，我们只要令（12119）和（12120）两式右边的体积分值等于零，便可得到拉普拉斯方程第一边值问题的解
vvvvGrr0ur∫∫r0dS0
0Σ
以及第三边值问题的解
（12121）
1vvvvur∫∫Grr0r0dS0
α
Σ
（12122）
我们看到，借助格林公式，也可利用格林函数方法得到齐次方程定解问题的解。
二、用电像法求格林函数
（一）无界空间的格林函数基本解从§121讨论可知，确定了G，就能利用积分表式求得泊松方程边值问题的解。虽然，求格林函数的问题本身也是边值问题，但这是特殊的边值问题，其求解比一般边值问题简单。特别是对于无界区域的情形，常常还可以得到有限形式的解。无界区域的格林函数称为相应方程的基本解基本解。基本解我们将一个一般边值问题的格林函数G分成两部分
GG0G1
其中G0是基本解。r