界条件
vΣ0
（12112）
uu则（12111）中含
的一项等于零。从而不需要知道
在边界Σ上的值。满足方
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f程（1216）及边界条件（12112）的解称为泊松方程第一边值问题的格林函数泊松方程第一边值问题的格林函数，泊松方程第一边值问题的格林函数用G（r，r0）表示。这样，（12111）式成为
vvvvvvvGrr0ur0∫∫∫Grr0frdV∫∫rdS
TΣ（12113）
对于第三边值问题，令v满足齐次的第三类边界条件，
vα
β
v0Σ
（12114）
满足方程（1216）及边界条件（12114）的解称为泊松方程第三类边值问题的格泊松方程第三类边值问题的格林函数，也用G（r，r0）表示。以G（r，r0）乘（1215）式两边，得林函数
uαG
βGuGΣ
又以u乘（12114），并以G代替其中的v，得
GαuβGu0
Σ
将这两式相减，得
αG
将此式代入（12111），得
GuuG
Σ

1vvvvvvvur0∫∫∫Grr0frdV∫∫Grr0rdS
T
α
Σ
（12115）
至于第二边值问题，表面看来，似乎可以按上述同样的办法来解决，即令G为定解问题
vvGδrr0
（12116）
G0
Σ
的解，而由（12111）得到
（12117）
vvvvvvvur0∫∫∫Grr0frdV∫∫Grr0rdS
TΣ
（12118）
可是，定解问题（12116）～（12117）的解不存在。这在物理上是容易理解的：不妨把这个格林函数看作温度分布。泛定方程（12116）右边的δ函数表明在Σ所围区域T中有一个点热源。边界条件（12117）表明边界是绝热的。点热源不停地放也热量。而热量又不能经由边界散发出去，T里的温度必然要不停地升高，其
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f分布不可能是稳定的。这就需要引入推广的格林函数推广的格林函数。对于三维空间，推广的格林函数
Gδxx0δyy0δzz0G0
Σ
式中VT是T的体积。对于二维空间，
1VT
Gδxx0δyy0G0
Σ
1AT
式中AT是T的面积，方程右边添加的项是均匀分布的热汇密度，这些热汇的总体恰好吸收了点热源所放出的热量，不多也不少。（12113）和（12115）的物理解释有一个困难。公式左边u的宗量r0表明观测点在r0，而右边积分中的f（r）表示源在r，可是，格林函数G（r，r0）所代表的是r0的点源在r点产生的场。这个困难如何解决呢？原来，这个问题里的格林函数具有对称性G（r，r0）＝G（r0，r），将（121r