对于三维泊松方程，即G0满足
（1221）
vvG0δrr0
G1则满足相应的齐次方程（拉普拉斯方程）
（1222）
G10
及相应的边界条件。例如在第一边值问题中，
6
（1223）
GΣ0，从而有
fG1ΣGG0ΣG0Σ
（1224）
拉普拉斯方程（1223）的边值问题的求解是熟知的。至于方程（1222），它描述的是点r0的点源在无界空间产生的稳定场。以静电场为例，它描述在点r0电量为－
ε0的点电荷在无界空间中所产生电场的r点的电势，即G014πrr0。
现在再给出（1222）的一种解法。先假设点源位于坐标原点，由于区域是无界的，点源产生的场应与方向无关，如果选取球坐标（r，θ，），则G0只是r的函数，方程（1222）变成一个常微分方程，当r≠0时，G0满足拉普拉斯方程
v
v
1d2dG0r0r2drdr
其解为
（1225）
G0
C1C2r
（1226）
令无穷远处G0＝0，于是C2＝0。为了求出C1，将方程（1222）在包含r0＝0的区域作体积分，这个区域可取为以r0＝0为球心，半径为ε的小球Kε，其边界面为Σε参（见图121），
∫∫∫GdV1
0Kε
利用（1213）（令其中的u≡1），将上式右边体积分化成面积分。
π2πG0C12∫∫∫G0dV∫∫rdS∫0∫rrrsi
θdθd4πC1KΣ0
εε
则
C1
14π，从而G0r114πr
若电荷位于任意点r0，则
11vvG0rr0vv4πrr0
类似地，用平面极坐标可求得二维泊松方程的基本解
（1227）
11vvl
vvG0rr02πrr0
（1228）
7
f（二）用电像法求格林函数让我们来考虑这样一个物理问题。设在一接地导体球内的M0（r0）点放置一带电量为－ε0的点电荷。则球内电势满足泊松方程
vvGδrr0
边界条件是
（1229）
G球面0
（12210）
此处G便是泊松方程第一边值问题的格林函数。从电磁学知道，在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。因此，球内电势应为球内电荷直接产生的电势与感应电荷所产生的电势之和。因此，我们可将G写成两部分之和
GG0G1
知，G0满足
（12211）
其中G0是不考虑球面边界影响的电势，G1则是感应电荷引起的。由前面的讨论可
vvG0δrr0
从而G1满足
（12212）
G10
以及边界条件
（12213）
G1球面GG0球面G0
球面

（12214）
vvvvG0rr014πrr0。至于G1则可从方程（12213）这样，G0就是基本解，
及边界条件（12114）用分离变数等方法求得。但这样得r