r，0）（1214）以（r乘，
∫∫∫vuuvdV
T
z
vv∫∫∫vfdV∫∫∫uδrr0dV
TT
（1217）应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在r＝r0点，v具有δ函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域T中挖去包含r0的小体积，例如半径为ε的小，球Kε（图121）Σε的边界面为Σε。对于剩下的体积，格林公式成立，x图121OKε
r0
T
Σε
Σ
y
TKε
∫∫∫vuuvdV∫∫v
u
dS∫∫v
u
dS
ΣΣε
u
v
u
v
（1218）
把（1218）代入挖去Kε的（1217），并注意r≠r0，故δ（r－r0）＝0，于是
∫∫v
u
dS∫∫v
u
dS∫∫∫vfdV
ΣΣεTKε
u
v
u
v
（1219）
当rr01，方程（1216）的解v（r，r0）→位于点r0而电量为－ε0的点电荷
v
v
vvrr0。令ε→0，得的静电场中的电势，即－1／4π
2
f（1219）右边→
∫∫∫vfdV
T
左边的
∫∫v
dS∫∫
4πεε
ΣεΣε
u
v
u
11
2
d
ε4π
∫∫
dε
Σε
u
1
2
u
→0
rr0
左边的Σε
∫∫u
dS∫∫ur4π
Σε

111dSr4π
∫∫ur
Σε
vr2dur0
（12110）
这样，（1217）成为
vvvvur0∫∫∫vrr0frdVTvvvvvrr0vvur∫∫vrr0urdS
Σ
（12111）称为泊松方程的基本积分公式泊松方程的基本积分公式。泊松方程的基本积分公式
（12111）
（12111）将（1214）的解u用区域T上的体积分及其边界上的面积分表示了出来。那么，能否用（12111）来解决边值问题呢？我们看到，（12111）中需
u要同时知道u及
在边界Σ上的值，但是，在第一边值问题中，已知的只是u在边u界Σ上的值；在第二边值问题中，已知的只是
在边界Σ上的值。在第三边值问题u中，已知的是u和
的一个线性关系在边界Σ上的值，三类边界条件均未同时分别u给出u和
的边界Σ上的值。因此，我们还不能直接利用（12111）解决三类边值
问题。其实，这里距离问题的解决已经很近了。原来，对于函数v（r，r0），我们还只考虑其满足方程（1216）。如果我们对v（r，r0）提出适当的边界条件，则上述困难就得以解决。对于第一边值问题，u在边界Σ上的值是已知的函数（M）。如果要求v满足齐次的第一类边r