高考数学知识点之极限
考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
§13极限知识要点
1⑴第一数学归纳法：①证明当
取第一个
0时结论正确；②假设当
k（kNk
0）时，结论正确，证明当
k1时，结论成立⑵第二数学归纳法：设P
是一个与正整数
有关的命题，如果
①当
0（
0N）时，P
成立；
②假设当
k（kNk
0）时，P
成立，推得
k1时，P
也成立
那么，根据①②对一切自然数
0时，P
都成立2⑴数列极限的表示方法：
①
lim

a


a
②当
时，a
a⑵几个常用极限：
①limCC（C为常数）

②lim10kNk是常数
k
③对于任意实常数，
当a1时，lima
0

当a1时，若a1，则lima
1；若a1，则lima
lim1
不存在





当a1时，lima
不存在
⑶数列极限的四则运算法则：
如果
lima




a
limb

b

b
，那么
①
lima



b




a

b
1
f②
lima



b




a

b
③lima
ab0
b
b
特别地，如果C是常数，那么
limC

a




lim

C

lima




Ca

⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当q1时，无穷等比数列的各项和为Sa1q11q
（化循环小数为分数方法同上式）注：并不是每一个无穷数列都有极限3函数极限；⑴当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数fx无限趋进于一个常数a，
就是说当x趋近于x0时，函数fx的极限为a记作limfxa或当xx0时，fxa
xx0
注：当xx0时，fx是否存在极限与fx在x0处是否定义无关，因为xx0并不要求xx0（当然，fx在x0是否有定义也与fx在x0处是否存在极限无关函数fx在x0
有定义是limfx存在的既不充分又不必要条件）
xx0
如
Px

x
1x1
x
x
1
1
在
x
1
处无定义，但
lim
x1
Px
存在，因为在
x
1处左右极限均等于零
⑵函数极限的四则运算法则：
如果limfxalimgxb，那么
xx0
xx0
①limfxgxab
xx0
②limfxgxab
xx0
③limfxab0xx0gxb
特别地，如果C是常数，那么
limCfxClimfx
xx0
xx0
limfx
limfx
（
N）
xx0
xx0
注：①各个r