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对数函数例题解析
3x22x1
【例1】1求函数y1
log1
2
的定义域.
2求函数y
1logaxa
a>0,且a≠1的定义域.
3已知函数fx的定义域是0,1,求函数yflog13-x的定义
3
域.
3x2x13x2log12x1≥02x1≤0≤122x13x2121由>03x22x1>0x<或x>232x1112x1≠0x≠2x≠2
解
12<x≤1122<x≤1x<或x>2331x≠2
∴所求定义域为x23<x≤1
解
2∵1-logax+a>0,∴logax+a<1.
当a>1时,0<x+a<a,∴函数的定义域为-a,0.当0<a<1时,x+a>a,∴函数的定义域为0,+∞.
解3∵fx的定义域为0,1,∴函数yflog13-x有意义,
3
必须满足0≤log13-x≤1,即log
3
113
≤log13-x≤log1
33
13
,∴83
13
≤3-
x≤1,∴2≤x≤
83
.故函数yflog13-x的定义域为2,
3
xx
.
【例2】已知函数y
10
110
,试求它的反函数,以及反函数的定义
域和值域.
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解已知函数的定义域为R,∵y1-y10
x
10
xx
110
∴y≠1,由y
10
xx
110
得
y,∴10
x
y1y
y
>00<y<1,即为函数的值域.
由10
x
y1y
得xlg
1y
,即反函数f
1
xlg
x1x
.
反函数的定义域为0,1,值域为y∈R.【例3】作出下列函数的图像,并指出其单调区间.1ylg-x,2ylog2x+1
3ylog1x-1,4y=log21-x.
2
解1ylg-x的图像与ylgx的图像关于y轴对称,如图2.8-3所示,单调减区间是-∞,0.解2先作出函数ylog2x的图像,再把它的图像向左平移1个单位就得y
=log2x+1的图像如图2.8-4所示.单调递减区间是-∞,-1.单调递增区间是-1,+∞.
解3把ylog1x的图像向右平移1个单位得到ylog1x-1
22
的图像,保留其在x轴及x轴上方部分不变,把x轴下方的图像以x轴为
对称轴翻折到x轴上方,就得到ylog1x-1的图像.如图2.8-5
2
所示.
单调减区间是-1,2.单调增区间是2,+∞.解4∵函数ylog2-x的图像与函数ylog2xr