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对数函数例题解析
3x22x1
【例1】1求函数y1
log1
2
的定义域．
2求函数y
1logaxa
a＞0，且a≠1的定义域．
3已知函数fx的定义域是0，1，求函数yflog13－x的定义
3
域．
3x2x13x2log12x1≥02x1≤0≤122x13x2121由＞03x22x1＞0x＜或x＞232x1112x1≠0x≠2x≠2
解
12＜x≤1122＜x≤1x＜或x＞2331x≠2
∴所求定义域为x23＜x≤1
解
2∵1－logax＋a＞0，∴logax＋a＜1．
当a＞1时，0＜x＋a＜a，∴函数的定义域为－a，0．当0＜a＜1时，x＋a＞a，∴函数的定义域为0，＋∞．
解3∵fx的定义域为0，1，∴函数yflog13－x有意义，
3
必须满足0≤log13－x≤1，即log
3
113
≤log13－x≤log1
33
13
，∴83
13
≤3－
x≤1，∴2≤x≤
83
．故函数yflog13－x的定义域为2，
3
xx
．
【例2】已知函数y
10
110
，试求它的反函数，以及反函数的定义
域和值域．
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解已知函数的定义域为R，∵y1－y10
x
10
xx
110
∴y≠1，由y
10
xx
110
得
y，∴10
x

y1y
y
＞00＜y＜1，即为函数的值域．
由10
x

y1y
得xlg
1y
，即反函数f
1
xlg
x1x
．
反函数的定义域为0，1，值域为y∈R．【例3】作出下列函数的图像，并指出其单调区间．1ylg－x，2ylog2x＋1
3ylog1x－1，4y＝log21－x．
2
解1ylg－x的图像与ylgx的图像关于y轴对称，如图2．8－3所示，单调减区间是－∞，0．解2先作出函数ylog2x的图像，再把它的图像向左平移1个单位就得y
＝log2x＋1的图像如图2．8－4所示．单调递减区间是－∞，－1．单调递增区间是－1，＋∞．
解3把ylog1x的图像向右平移1个单位得到ylog1x－1
22
的图像，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为
对称轴翻折到x轴上方，就得到ylog1x－1的图像．如图2．8－5
2
所示．
单调减区间是－1，2．单调增区间是2，＋∞．解4∵函数ylog2－x的图像与函数ylog2xr