相似三角形培优导学案
精典例题
1已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ＝k，A
D
是否存在这样的实数k，使得Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似，若存在，求出k的值；
若不存在，请说明理由。
P
B
QC
问题二图
2如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD3，DC5，BC10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以
每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运
动．设运动的时间为t（秒）．
（1）当MN∥AB时，求t的值；
A
D
（2）试探究：t为何值时，△MNC为直角三角形．
N
B
M
C
变式练习1：如图所示，在ΔABC中，BABC20cm，AC30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x。（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当
SBCQ1，求SBPQ的值；（3）ΔAPQ能否与ΔCQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由。
SABC3
SABC
由S△BCQ：S△ABC1：3得知：QC13AC10且S△BCQ13S△ABC所以：QP的运动时间为103由（1）题知，此时PQ与BC恰好平行。所以：△ABC∽△APQ所以：S△APQS△ABC2030249即：S△APQ49S△ABC所以：S△PBQS△ABCS△APQS△BQCS△ABC49S△ABC13S△ABC29S△ABC所以：S△BPQ：S△ABC2：9
（3）能。当△APQ∽△CQB时，有APCQAQBC43由于：BC20所以：可求得AQ803所以：QC30803103所以：PQ两点运动的时间为1033109所以：此时AP4109409即AP的长是409厘米
f变式练习2：如图，已知直线l的函数表达式为y4x8，且l与x轴，y轴分别交于A，B两点，动点Q从B点开3
始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速
度向点O移动，设点Q，P移动的时间为t秒．
（1）求出点A，B的坐标；
y
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
B
（3）求出（2）中当△APQ与△AOB相似时，线段PQ所在直线的函数表达式．
Q
O
PA
x
3如图，抛物线经过A4，0，B1，0，C0，2三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC
相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】解：（1）该抛物线过点C0，2，可设该抛物线的解析式为yax2bx2．将A4，0，B1，0r