证明两角相等的方法
黄冈中学初三数学备课组
【重点解读】
证明两角相等是中考命题中常见的一种题型,此类证明看似简单,但方法不当也会带来麻烦,特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法,可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理(或常见结论)以及几种处理方法,仅供参考。
【相关定理或常见结论】1、相交线、平行线:(1)对顶角相等;(2)等角的余角(或补角)相等;(3)两直线平行,同位角相等、内错角相等;(4)凡直角都相等;(5)角的平分线分得的两个角相等2、三角形(1)等腰三角形的两个底角相等;(2)等腰三角形底边上的高(或中线)平分顶角(三线合一);(3)三角形外角和定理:三角形外角等于和它不相邻的内角之和(4)全等三角形的对应角相等;(5)相似三角形的对应角相等3、四边形(1)平行四边形的对角相等;(2)菱形的每一条对角线平分一组对角;(3)等腰梯形在同一底上的两个角相等4、圆(1)在同圆或等圆中,若有两条弧相等或有两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等;(2)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,圆心角相等(3)圆周角定理:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(4)圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补并且每一个外角都等于它的内对角(5)三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角(6)正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角(7)从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角;5、利用等量代换、等式性质证明两角相等6、利用三角函数计算出角的度数相等
【典题精析】
(一)利用全等相关知识证明角相等
A
例1已知:如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD
交于点O,且BDCE.
求证:AO平分BAC.
D
E
分析:要证AO平分BAC,因为CD⊥AB于点D,BE⊥AC于
O
点E,所以只要证明ODOE;若能证明若能证△OBD≌△OCE即
B
C
f
可,因为可证∠ODB∠OEC90°∠BOD∠COE,而BDCE,故问题得到解决.
证明:∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E
∴∠ODB∠OEC90°在△OBD和△OCE中
∠ODB∠OEC∠BOD∠COEBDCE∴△OBD≌△OCE∴ODOE
∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E∴AO平分BAC.
说明:本例的证明运用了对顶角相等,角的平分线性质的逆定理
A
例2如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是梯形内一点,ED⊥AD,BEDC,∠ECB45o.求证:∠EBC=∠EDC
分析:要证明∠EBC=∠EDC,容易想到证全等,而图中没r