的一个周期3如果函数yfx的图象关于直线xa和直线xm对称，那么函数yfx是以
T2ma为周期的周期函数
题型一：函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性（1）f（x）x1－x－1；
3
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1x；1x
（2）f（x）（x－1）
（3）fx
1x2；x22
（4）fx
x1xx1x
x0x0
【变式】定义在区间11上的函数fx满足：对任意的xy11，都有
xyfxfyf求证fx为奇函数1xy

题型二：函数的周期性【例2】设函数fx在上满足f2xf2xf7xf7x，且在闭区间07上，只有f1f30（Ⅰ）试判断函数yfx的奇偶性；（Ⅱ）试求方程fx0在闭区间20112011上的根的个数，并证明你的结论【变式】函数fx对于任意实数x满足条件fx2fx1，若f15则f5____【解析】
15
题型三：函数的对称性【例3】若函数fx在R上是奇函数，且在1，0上是增函数，且fx2fx（1）证明fx的图象关于点2k0中心对称，关于直线x2k1轴对称kZ；（2）讨论fx在12上的单调性；【变式】在R上定义的函数fx是奇函数，且fxf2x，若fx在区间12是减函数，则函数fx（）
A在区间32上是增函数，区间34上是增函数
4
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B在区间32上是增函数，区间34上是减函数C在区间32上是减函数，区间01上是增函数D在区间21上是减函数，区间34上是减函数
题型四：函数性质的综合应用【例4】已知函数fxlog1x1，当点Px0，y0在yfx的图像上移动时，点
2
Q
x0t1在函数ygx的图像上移动，y0（tR）2
（1）若点P坐标为（1，，点Q也在yfx的图像上，求t的值；1）（2）求函数ygx的解析式；（3）当t0时，试探求一个函数hx，使得fxgxhx在限定定义域为0，1时，有最小
值而没有最大值．
总结
1对于分段函数的奇偶性的判别，要分段进行讨论2定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，不是充要条件3奇函数在对称区间上具有相同的单调性；偶函数在对称区间上具有相反的单调性4周期函数的定义域一定是无穷区间5具r