分析1先运用特殊化方法求出定点的坐标，再证明抛物线y2x2px4p1
都过这一定点。
解1令p0y2x21
1
令p1y2x2x5
2
由（1）、（2）解得x4y33
将x4y33代入y2x2px4p1，等式成立。所以，对任何实数p抛
物线y2x2px4p1都过定点（4，33）。
分析2将y2x2px4p1看作关于p的方程，原命题即为当xy为何值
时，方程的解为一切实数。
解2y2x2px4p1可化为p4xy2x21。
f4x0
x4
当且仅当

y

2
x
2
10
即

y

时，p的解为一切实数。所以对任何实数33
p抛物线y2x2px4p1恒过定点433
例5如果函数fxx2bxc对任意实数t都有f2tf2t，那么
（
）
Af2f1f4
Bf1f2f4
Cf2f4f1
Df4f2f1
分析等式f2tf2t表明，函数yfx的图象上到直线x2距离相等的
两点的纵坐标相等，即直线x2是函数yfx的图象的对称轴。因此，f1f3。
解
由f2tf2t，得函数fxx2bxc的对称轴是
x2，因而有f1f3。又当x2时，函数fxx2bxc的值随着x增加
而增加。所以，f2f1f4。故本题应选A。
评注（1）若函数yfx对任意实数x都有faxfax
则函数yfx的图象关于直线xa对称；
（2）本题也可以由f2tf2t得到b4。由fxx24xcf1c3f2c4f4c因此，
f2f1f4。
例6已知函数yx24x2求
（1）在1x1上的最大值和最小值；（2）在0x3上的最大值和最小值。
分析二次函数在实数范围内或有最大值，或有最小值；但在给定区间上，它的图象是
一段抛物线弧，可以既有最大值，也有最小值。通常运用配方法求解。
解
yx24x2x222
（1）由1x13x211x229，得
当x1时，函数yx24x2取最大值ymax121；
f当x1时，函数yx24x2取最小值ymi
927。
（2）由0x32x210x224，得
当x2时，函数yx24x2取最大值ymax022；
当x0时，函数yx24x2取最小值ymi
422。
评r