注二次函数在给定区间上的图象是一段抛物线弧。（1）所给区间1x1上的抛物
线弧段不含抛物线顶点，保持单调递增，因此它的最值分别在抛物线弧段的两个端点实现；（2）
所给区间0x3上的抛物线弧段含抛物线顶点，因此它的最值分别在抛物线的顶点及抛物
线弧段的两个端点之一实现。
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情景再现
4．若实数mm0且m1，证明抛物线
ym1x22xm3
m
mm
过两个定点，并求出这两个定点间的距离。
5．设二次函数fxax2axbx12，求此
函数的最值。
6．已知二次函数fxax22a1x3在区间32上的最大值为
21，求实数a的取值范围。
C类例题
例7设、是方程x23x10的两根。求满足f，f，
f11的二次函数fx。
分析二次函数的解析式中，共有三个待定系数。题设条件中有三个等式，故本题可运用列方程组方法求解。
解1设二次函数fxax2bxc，由题意，
fa2bc
1
a
2

b

c

2
abc1
3
（1）（2）a22b12c0，
317a3b2c3
4
（1）（2）a22b103ab15
由（3）、（4）、（5）解得a1b4c4
因此，所求函数为fxx24x4
解2由f11，可设二次函数fxax1xm1，则
a1m1a2am1am11
a

1

m
1

a

2

am
1

am
1
2
31
（1）（2）a22am112am20
4aam10
3
（1）（2）a22am110
2aam10
4
由（3）、（4）解得a1m3
因此，所求函数为fxx24x4
例8已知fxx2axax01a0，求fx的最小值ga的表2
达式，并求ga的最大值。
分析由于ga是二次函数fx在给定区间上的最小值。在求
ga的表达式时，需要注意二次函数fx所表示的抛物线弧段是否包含顶点。x01
表示0x1，其中01称为闭区间。
f解
fxx2axaxa2aa2
2
224
若0

a2
1，即0

a

2时，
fm1
x

ga

a2

a24
；
若
a2
1，即a

2
r