∵fx是偶函数，且在0，∞）上是减函数，∴fx在（－∞，0上是增函数．
设u1—x2，则函数f1x2是函数fu与函数u1—x2的复合函数．
∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时，fu是减函数，根据复合函数的性质，可得f1x2
是增函数．
∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时，fu是增函数，根据复合函数的性质，可得f1x2
是增函数．
同理可得当－1≤x≤0或x≥1时，f1x2是减函数．
∴所求的递增区间为0，1和（—∞，—1．【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x的取值范围时，必须考虑相应的u
的取值范围．本例中，x≥1时，u仍是减函数，但此时u≤0，不属于fu的减区间，所以不能取x≥1，
这是应当特别注意的．例7设a为实数，函数fxx2xa1，x∈R，试讨论fx的奇偶性，并求fx的最小值
【思路点拨】对a进行讨论，把绝对值去掉，然后把fx转化成二次函数求最值问题。
【答案】当a0时，函数为偶函数；当a≠0时，函数为非奇非偶函数
当a


1时，f2
x
mi


34

aa

1时，f2
x
mi


34

a

12

a

1时，f2
x
mi


a2
1
【解析】当a0时，fxx2x1，此时函数为偶函数；
当a≠0时，fxx2xa1，为非奇非偶函数
7
f1当xa时，fxx123a24
①a1时，函数fx在a，上的最小值为f13a
2
24
且f1fa2
②a1时，函数fx在a上单调递增，
2
fx在a上的最小值为faa21
2当xa时，fxx2xa1x12a3
2
4
①a1时，函数fx在a上单调递减，
2
fx在，a上的最小值为faa21
②a1时，fx在，a上的最小值为f13a，且f1fa
2
24
2
综上：
a


1时，f2
x
mi


34

aa

1时，f2
x
mi


34

a

12

a

1时，f2
x
mi


a2
1
举一反三：
【变式1】判断fxxaxaaR的奇偶性．
【答案】当a0时，函数fx既是奇函数，又是偶函数；当a0时，函数fx是奇函数．【解析】对a进行分类讨论．若a0，则fxxx0．
xR，定义域R关于原点对称，函数fx既是奇函数，又是偶函数．
当a0时，fxxaxaxaxafx，fx是奇函数．
综上，当ar