0时，函数fx既是奇函数，又是偶函数；
当a0时，函数fx是奇函数．
例8对于函数fx，若存在x0∈R，使fx0x0成立，则称点（x0，x0）为函数fx的不动点．（1）已知函数fxax2bxba0有不动点（1，1），（—3，—3），求a，b的值；
（2）若对于任意的实数b，函数fxax2bxba0总有两个相异的不动点，求实数a的取
8
f值范围；
（3）若定义在实数集R上的奇函数gx存在（有限）
个不动点，求证：
必为奇数．
【答案】（1）a1，b3；（2）（0，1）；（3）略．【解析】（1）由已知得x1和x—3是方程ax2bx—bx的根，
由违达定理
13
3b
b
1a
a1，b3．

a
（2）由已知得：ax2bx—bx（a≠0）有两个不相等的实数根，∴Δ1b－124ab＞0对于任意的实数b恒成立．即b24a－2b1＞0对于任意的实数b恒成立．
也就是函数fbb24a2b1的图象与横轴无交点．
又二次函数fb的图象是开口向上的抛物线，
从而Δ24a—22—4＜0，即4a—2＜2，∴0＜a＜1．∴满足题意的实数a的取值范围为（0，1）．
（3）∵gx是R上的奇函数，∴gxgx
令x0，得g0g0，∴g00．∴（0，0）是gx的一个不动点．
设（x0，x0）（x0≠0）是gx的一个不动点，则gx0x0．又gx0gx0x0，∴（—x0，—x0）也是gx的一个不动点．又∵x0≠－x0，∴gx的非零不动点是成对出现的．
又（0，0）也是gx的一个不动点，∴若gx存在
个不动点，则
必为奇数．
【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于准确理解新定义，充分利用新定义分析
解决问题．本例的“不动点”实质是关于x的方程fxx的解的问题．本例（3）的解决主要是结合奇
函数关于原点的对称性从而得到有关的结论．
9
f【巩固练习】1．函数fxx1x0是
x
A．奇函数C．既是奇函数又是偶函数

B．偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数
2．若函数yx2bxc是偶函数，则有
AbRcRBbRc0Cb0c0Db0cR
3．设函数fxax32bx1，且f13则f1等于（）
A3B3
C5
D5
4．若偶函数fx在1上是增函数，则下列关系式中成立的是
A．f3f1f22
C．f2f1f32
B．f1f3f22
D．f2f3f12
5．如果奇函数fx在区间37上是增函数且最大值为5，那么fx在区间73上是
A．增函数且最小值是5C．减函数且最大值是5
B．增函数且最大值是5D．减函数且最小值是5
6．设fx是定义在R上的一个函数，则函数Fxfxfx，在R上一定是
Ar