x1x1x1fx，fx是偶函数．
（3）fxx2x1x2x1
fxfx且fxfx，∴fx为非奇非偶函数．
（4）任取x0则x0，∴fxx22x1x22x1x22x1fx任取x0，则x0fxx22x1x22x1x22x1fxx0时，f0f0∴x∈R时，fxfx∴fx为奇函数【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】【变式2】已知fx，gx均为奇函数，且定义域相同，求证：fxgx为奇函数，fxgx为偶
3
f函数证明：设Fxfxgx，Gxfxgx则FxfxgxfxgxfxgxFxGxfxgxfxgxfxgxGx∴fxgx为奇函数，fxgx为偶函数【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】
【变式3】设函数fx和gx分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论
恒成立的是（）
A．fxgx是偶函数B．fxgx是奇函数
C．fxgx是偶函数D．fxgx是奇函数
【答案】A
例2已知函数fxxR，若对于任意实数ab都有fabfafb，判断fx的奇偶性
【答案】奇函数
【解析】因为对于任何实数ab，都有fabfafb，可以令ab为某些特殊值，得出
fxfx
设a0则fbf0fb，f00
又设axbx，则f0fxfx，
fxfx，fx是奇函数
【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解在这里，由于需要判断fx与
fx之间的关系，因此需要先求出f0的值才行
举一反三：
【变式1】已知函数fxxR，若对于任意实数x1x2，都有
fx1x2fx1x22fx1fx2，判断函数fx的奇偶性
【答案】偶函数
【解析】令x10x2x得fxfx2f0fx，令x20x1x得
fxfx2f0fx
由上两式得：fxfxfxfx，即fxfx
fx是偶函数
4
f类型二、函数奇偶性的应用求值，求解析式，与单调性结合
例3fx，gx均为奇函数，Hxafxbgx2在0上的最大值为5，则Hx在
（2）上的最小值为
．
【答案】1
【解析】考虑到fxgx均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求Hx与Hx的关系．
HxHxafxbgx2afxbgx2
fxfxgxgx，
HxHx4．
当x0时，Hx4Hx，
而x0，Hx5，Hx1
Hx在0上的最小值为1．
【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现afxbgx也是奇
函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：x0时，Hx的最大值为5，x0时
afxbgx的最大值为3，xr