关于Y轴对称若fxyfxy曲面是关于xoz坐标面对称
∫∫fxydσ2∫∫fxydσ
D上半圆
若fxyfxy曲面是关于yoz坐标面对称
∫∫fxydσ2∫∫fxydσ
D右半圆
若要出现
∫∫fxydσ4∫∫fxydσ
DD1
需要fxyfxyfxy现在fxyyfxyfxyfxy
∫∫ydσ4∫∫ydσ4∫∫ydσ
DD1D1
实际上也可以
22∫∫xdσ4∫∫xdσ
DD1
5下列方程表示旋转抛物面的是Azx2y
2222


2
B
z1x2y2x2y2
Cz1xy
Dz
三、试解下列各题（每小题7分，共28分）试解下列各题1、设平面π通过Z轴且与平面π12xy5z0的夹角为
π
3

7
f求平面π的方程
πr
2215两平面的夹角为3rr2ABπ1
1
2所以cosrr2232
1
2AB101223A8AB3B0AB或A3B3所以所求平面为x3y0或3xy0
而平面π1的法向量为
解由于平面π通过z轴故可设其方程为r其法向量为
1AB0
AxBy0
xy2u2u2、设uyfxg求x2yyxxxyuxyyyf′gg′，解xyxxxyyy2y22u11f′′g′22g′3g′′f′′3g′2xyxxxyx2ux11yxy2f′′g′g′2g′′2f′′2g′′xyyxxxyx
所以
2u2ux2y0xxy
1
yey3、计算∫dx∫dyy001
8
x2
f解交换积分次序，
11yeyI∫0dy∫ydx∫0yeydy11y1
y2x204、设曲线求函数uxyz在点121处3x4y5z0
沿上述曲线在该点处切线方向与x轴成锐角的方向导数解
曲面4x10121410
平面345
v
v
r切线方向T4
ri
j1
rkr052013eTr
345gradu121111
152013594
u138r52013111vgradu121eTrT594594
xxr2视参数为x切线方向Tx′y′z′x1或y2x0xxx3x4y5z0
x′1，在121处，y′4z′135y′4x034y′5z′0
9
f∴
r113r切线方向Tx′y′z′x114eTv52013xxx5594
在121处，u′u′u′1gradu121111xyz
∴
ul
121

38594
222
a22四、设为曲面xyax和xy2za0h0h
2
所围成的空间封闭图形求的体积V
22
8分
解的投影为xy≤axr