，z01由于没有z0这个条件那么要考虑锥的上下两部分关于z0对称2顶部z底z0
h2xy2被积函数关于xoz面对称a
acosθh24aπ822dθV2∫∫xydσrrdra2h∫∫0h09Da
∴
l
1x2y2五、计算I∫∫∫dv22xy
其中是由曲面zxy及z
22
x2y2所围成的封闭空
间区域10分
10
f解两张曲面的交线为
zx2y2得z0z122zxy
1所以所围立体在xoy坐标面上的投影区域为利用柱面坐标计算得
x2y2≤1
I∫0dθ∫0rdr∫r
1
2π
r
2
l
1r2π1dz∫0dθ∫01rl
1rdrr2
112π∫0l
1rd1r221π1rl
1r∫1rdr1r0
21021
11r24drπ∫0r3π∫0dr1r1r51π34l
1r1π4l
20221
六、在曲面z4xy的第一封限上取一点过该点作曲面的
22
切平面求切平面与三个坐标面所围成的四面体的最小体积10分解设切点为xyz满足z4xyx0y0z0v曲面的切平面的法向量为
Fx′Fy′Fz′2x2y1
22
所以切平面方程为2xXx2yYyZz022即2xX2yYZ2x2yz8z
11
fXYZ1abc8z8z截距分别为abc8z2x2y118z3所以所围四面体的体积为Vabc664xy
平面的截距式目标函数
8z3fxyzgxyz3l
8zl
xl
yxy22约束条件z4xyx0y0z0
构造拉格朗日函数为
F3l
8zl
xl
yλx2y2z41′Fx2λx0xx1F′12λy0yy令y1驻点唯一z23λ0Fz′8z22xyz40
由实际问题112为最小值点最小值为Vmi

1823924
也可以但解方程组不方便
8z3Fλx2y2z4xy
12
f令
8z3Fx′x2y2λx08z32λy0Fy′2xy解得唯一驻点xy1z238z2Fz′λ0xyx2y2x4由实际问题112为最小值点1最小值为Vmi
823924
七、在一个半径上拼接一个同半径的高为H的圆柱体使整个物体的重心恰好位于球心试求半径R与高H之间的关系10分解建立坐标系如图由对称性xy0而zR
∫∫∫ρzdv

M

∫∫∫zdvV

所以只需由于
∫∫∫zdv0
2πR02π
r