4x1x210x91x1x9≤0
4
4
∴m的最大值为9。
另解：∵fx4f2x
∴函数的图象关于x1对称
∴b1
b2a
2a
由③知当x1时y0，即abc0
…………15分…………20分
第5页共9页
f由①得f1≥1，由②得f1≤1
∴f11，即工了以1，又abc0
∴a1
11
bc
4
24
∴fx1x21x11x124244
由fxt1xt12≤x在x∈1m上恒成立4
∴4fxtxx22t1xt12≤0当x∈1m时，恒成立
令x1有t24t≤04≤t≤0
令xm有t22m1tm12≤0当t∈40时，恒有解
令t4得，m210m9≤01≤m≤9
即当t4时，任取x∈19恒有
fx4x1x210x91x1x9≤0
4
4
∴mmi
9
…………5分
…………10分…………15分
…………20分
二○○二年全国高中数学联合竞赛加试试题
参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分；
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，评卷时可参考本评分标准适当划
分档次评分，可以10分为一个档次，不要再增加其它中间档次。
一、（本题满分50分）
如图，在ABC中，∠A60°，ABAC，点O是外心，两条高BE、CF交于H点，点M、N分别在线段
BH、HF上，且满足BMCN，求MHNH的值。OH
A
解：在BE上取BKCH，连接OB、OC、OK，
由三角形外心的性质知
F
∠BOC2∠A120°由三角形垂心的性质知
N
O
HE
∠BHC180°∠A120°∴∠BOC∠BHC∴B、C、HO四点共圆
KM
…………20分
B
C
∴∠OBH∠OCHOBOCBKCH
第6页共9页
f∴BOK≌COH∵BOK∠BOC120°，∠OKH∠OHK30°观察OKH
KHOHKH3OHsi
120si
30
又∵BMCN，BKCH，∴KMNH
…………30分…………40分
∴MHNHMHKMKH3OH
∴MHNH3OH
二、（本题满分50分）
…………50分
实数abc和正数使得fxx3ax2bxc有三个实根x1x2x3，且满足
①x2x1
②
1
x3x1x2
2
求2a327c9ab33
3
2
解：∵fxfxfx3xx3x2ax3xx32ax3b
∴x1x2是方程x2ax3xx32ax3b的两个根
∵x2x1
∴ax24x32ax3b
3x322ax324ba20
∵x31x1x22
∴
1
x3

a3

4a212b32
Ⅰ
且4a212b32≥0
Ⅱ
∵fxx3ax2bxc
…………10分

x

a3

a2
bxa
2
a3c1ab
33
327
3
∵fx30
∴
1ab3
227
a3
c

x3

a33
a23
bx3

a3
…………20分Ⅲ
由Ⅰ得
a1x333
4a212b32233
a2
2
b
3
4
记pa2b，由Ⅱ和Ⅲ可知p≥2且1ab2a3c23p2p2
3
4327
9
4
令yp2，则y≥0且1ab2a3c23yy232…………30分
4
327
9
4
第7页共9页
f∵y332y2y332y332
44
4
242
y2y2
≥0
r