∴
13
ab

227
a3

c


318
3

2a3

27c3

9ab

332
…………40分
∴取a23b2c02，则fxx3ax2bxc有根31，31，0
显然假设条件成立，且
2a327c9ab1
33
483363
3
8
2
综上所述2a327c9ab的最大值是33
3
2
…………50分
三、（本题满分50分）
在世界杯足球赛前，F国教练为了考察A1A2…A7这七名，准备让他们在三场训练比赛每场90分钟都上场，假设在比赛的任何时刻，这些中有且仅有一人在场上，并且A1A2A3A4每人上场的总时间以分钟为单位均被13整除，如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的
情况。
解：设第i名队员上场的时间为xi分钟i123…7，问题即求不定方程
x1x2…x7270
①
在条件7xi1≤i≤4且13xj5≤j≤7下的正整数解的级数。
若x1x2…x7是满足条件①的一组正整数解，则应有
4
xi7m
i1
7
xj13
j5
m
∈N
∴m
是不定方程
7m13
270
②
在条件m≥4且
≥3下的一组正整数解。
…………10分
∵7m413
3203
令m′m4
′
3有
7m′13
′270
③
∴求②满足条件m≥4且
≥3的正整数解等价于求③的非负整数解。
∵易观察到
721311
∴
740613203203
即m0406
0203是③的整数解∴③的整数通解为
m′40613k

′2037kk∈Z
令m′≥0
′≥0解得29≤k≤31
…………20分
取k293031得到③满足条件的三组非负整数解：
m29
0
m16
7
m3
14
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f从而得到②满足条件的三组正整数解：
m33
3
m20
10
m7
17
1在m33
3时，显然x5x6x713仅有一种可能，
…………30分
又设
xi7yii1234，于是由不定方程
y1y2y3y433
有
C41331

C332

4960
组正整数解。
∴此时①有满足条件的C3324960组正整数解。
2在m20
10时，设xi7yii1234，xj13yjj567
由
y1y2y3y420，有
C139
组正整数解；以及
y5y6y710，有
C
29
组正整数解。
∴此时①有满足条件的C139C9234884组正整数解。
3在m7
17时，设xi7yii1234，xj13yjj567
由
y1y2y3y47，有
C
36
组正整数解；以及
y5y6y717，有
C126
组正整数解。…………40
分
综上所述，①满足条件的正整数解的组数为
C332

C139
C93

C
36
C126496034884240042244
…………50分
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