等号当且仅当AB过焦点F时成立。所以圆C的最小半
径是1a2
说明：因为过抛物线焦点的弦中，弦长最小的是通径（即过焦点且与对称轴垂直的弦），由
于通径长为2p，所以抛物线的定长弦的长度a大于等于2p时，本例的上述解法才成立，如果
a2p时，弦AB就不可能经过抛物线的焦点，这时应该是当AB与y轴垂直时，AB中点C
到准线的距离最小。
设AB所在直线方程为ym，将它代入抛物线方程x22py，得：x22pm，∴
x2pm，
∴AB22pma∴ma2，∴C0m，故点C到准线yp的距离为pa2。
8p
8p
所以这时圆C的最小半径为pa28p
例3、设ABC是曲线xy1上三点，求证：△ABC的垂心Hx0y0也在该曲线上。
分析：证垂心在曲线xy1上，故只需求x0y0之值，而无需求x0、y0。
解：
A
x1

1x1

、
B
x2

1x2

、
C
x3

1x3

。则
kBC
1x2x3

kAH

x2x3
从而知
AH

y

1x

x2x3x

x1






1
同理，BH
y
1x2

x3x1xx22
故有

y0


y0

1x11x2

x2x3x0x3x1x0

x1x2

xx11
y0x2
x3
1
x0
x1x2x3x0x2x2
y0
x1
314
，
34并消去x1x2x3得：x2y21x0x1x1y01x0x2
x2x1x0y0x2x1
x1x2
x0y01
二、设而不求，整体运算
在某些解析几何问题中，灵活把握曲线方程的特点，采用设而不求、整体代入、整体运算等
2
f方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感到整体思维的和谐美。
例4、椭圆x2y21上有两点P、Q，O是原点，若OP、OQ斜率之积为1。（1）求
164
4
证：OP2OQ2为定值。（2）求PQ的中点M的轨迹方程。
解：（1）设P、Q的两点坐标分别为Px1y1、Qx2y2P、Q分别在椭圆上，且

x12

y12
1
KOP
KOQ

14
16
，

x2216

y1x1

4y221
4y21x24

44
y12y22

1616

x121x222
4y1y2x1x23
12得16y12y2216216x12x22x12x224
（3）代入（4）得x12

x22
16，（1）（2）得
y12

y22

8
14r