优化解析几何策略减少计算量
解析几何是借助坐标系工具，运用代数方法来研究几何图形关系与性质的一门学科，体现了数形结合的思想。数离不开运算，若运算方法、运算顺序等不当，会使得计算量陡增，导致半途而废。罗增儒教授曾指出：“数形结合应该是双流向的，对同一个问题既有数式抽象性质来说明形象的事实，又有图形的直观性质来说明数式的性质”，因此可以从数式角度可以减少计算量，也可从图形转化为数式上可减少计算量。下面将以2015年高考浙江理科第19题试题第一问为载体来说明在解析几何中减少计算量途径。题目：已知椭圆
1x2y21上两个不同的点AB关于直线ymx对称．22
求实数m的取值范围；
求AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
一、试题分析本题主要考察直线与椭圆的位置关系，解决这类问题，一般需要关注三个关键环节，即：题目入口、问题表征及运算推导。下面从前两个方面谈一谈对此题得认识：其一，从所给题目条件可知，椭圆方程
1x2y21与直线方程ymxm0，22
这是从数式角度来呈现条件。在椭圆上存在两个不同的点AB，使得点A关于直线
11ymx对称是点B（线段AB的垂直平分线为ymx），这是从图形角度来呈现22
条件。善于数式与图形双流向，在椭圆上存在两个不同的点AB转化为数式的角度为
1x12x222y11和y221（设Ax1y1，Bx2y2），点A关于直线ymx对称222
是点B转化为数式角度为
y2y1yy2xx1m1且1m12，其本质就是线段x2x1222
fAB的方程，ymx
1x2与y21三者之间关系。22
其二，对于求实数m的取值范围，求的是不等关系，而给出是方程（等式），这是这一问难点所在。已知椭圆
1x2y21上两个不同的点AB关于直线ymx对称转22
化为存在直线lAB与椭圆
x2y21有两个不同交点，从数式角度就是0，从图形角度2
就是AB的中点在椭圆内部（从极限角度两者是等价）。根据试题思路分析，给出以下6种解法。二、优化解题策略这是2015年高考浙江理科第19题试题第一问参考答案解法1由题意知m0，可设直线lAB的方程为y
1xb。m
x2y2121122bxb210。由消去y得2x2mmy1xbm
因为直线y
1x2xb与椭圆y21有两个不同交点，m2
2
1142b22所以r