减少解析几何运算量的若干方法
在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。
一、回归定义，以简驭繁圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。
例1、在面积为1的ΔPMN中，tg∠PMN1tg∠MNP2建立适当的坐标系，求2
以M、N为焦点且过点P的椭圆方程93年高考题分析：在该题的题设条件中，其实是给出了ΔPMN的两内角的大小及它的面积。因此我们
应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。
解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为x2y21，则由椭圆定义有a2b2
2aPMPN，2cMN，过点P向x轴作垂线，垂足为A，
tg∠MNP2，tg∠PNA2。由平面几何知识有
PA

MA

12

PA
2
AN

12
MN

PA
1

AM

AN

MN


PA2MN
333




PM

2
153


AM

433
AN

33

PN

153
2aPMPN15a15a215，2cMN3，c3，
2
4
2
b2a2c23。
所求的椭圆方程为4x2y21153
说明：在上述解题过程中，PNPM是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量的关键。
例2、长度为a的线段AB的两端点在抛物线x22pya≥2p0上运动，以AB的中点C为
圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径（85年湖北省六市高考预选题）。分析这里其实就是要求定长弦AB的中点C到准线的最小距离。由于AB中点到准线的距
离等于AB两端点到准线的距离的算术平均值，所以问题就进一步转化为求A、B两点到准线距
1
f离之和的最小值。由抛物线的定义知：A、B两点到准线的距离分别等于它们到焦点的距离，所
以当线段A、B过焦点时，A、B两点到焦点的距离之和取得最小值a，这时A、B两点到准线
的距离之和也取得最小值a，所以点C到准线的距离取得最小值a。2
解：如图2，过弦AB的两端分别作准线的垂线，垂足为G、H又设圆C与抛物线的准线切于D设抛物线的焦点F连
CD、AF、BF。由抛物线的定义，AGAF，且BHBF
CD1AGBH1AFBF≥1AB1a。上
2
2
2
2
式中的r