有零解Bx0只有零解；②、Bx0有非零解ABx0一定存在非零解；28设向量组B
×rb1b2br可由向量组A
×sa1a2as线性表示为：（P110题19结论结论）
b1b2bra1a2asK（BAK）
cr
其中K为s×r，且A线性无关，则B组线性无关rKr；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）关性（必要性：∵rrBrAK≤rKrK≤r∴rKr；充分性：反证法）注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；29①、对矩阵Am×
，存在Q
×m，AQEm
rAm、Q的列向量线性无关；（P87）
②、对矩阵Am×
，存在P
×m，PAE
rA
、P的行向量线性无关；30α1α2αs线性相关存在一组不全为0的数k1k2ks，使得k1α1k2α2ksαs0成立；（定义）
fx1xα1α2αs20有非零解，即Ax0有非零解；xs
rα1α2αss，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
31设m×
的矩阵A的秩为r，则
元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为：rS
r；32若η为Axb的一个解，ξ1ξ2ξ
r为Ax0的一个基础解系，则ηξ1ξ2ξ
r线性无关；（P111结论）题33结论
5、相似矩阵和二次型
33正交矩阵ATAE或A1AT（定义），性质：①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj
10iji≠jij12
；
②、若A为正交矩阵，则A1AT也为正交阵，且A±1；③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化单位化施密特正交化和单位化施密特正交化单位化；34施密特正交化：a1a2arb1a1；
b2a2b1a2ib1b1b1b1arbabaib12rib2r1ribr1b1b1b2b2br1br1

brar
35对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；实对称阵36①、A与B等价A经过初等变换得到B；PAQB，P、Q可逆；rArB，A、B同型；②、A与B合同
CTACB，其中可逆；xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数；
③、A与B相似P1APB；37相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则CTACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；38A为对称阵，则A为二次型矩阵；39
元二次r