O
1
OOA③、1BOA
④、⑤、
A1ACOBO
1
1
A1AO11CBBCA
3、矩阵的初等变换与线性方程组
6一个m×
矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F
ErO
O；Om×

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若rArBAB；7行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；8初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若AE
EX，则A可逆，且XA
r
1
；
c
②、对矩阵AB做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：ABEA1B；③、求解线形方程组：对于
个未知数
个方程Axb，如果AbEx，则A可逆，且xA1b；9初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
r
fλ1②、Λ
λ2
，左乘矩阵A，λ乘A的各行元素；右乘，λ乘A的各列元素；iiλ
1
111③、对调两行或两列，符号Eij，且EijEij，例如：11；11
11111④、倍乘某行或某列，符号Eik，且Eik1Ei，例如：kkk11
k≠0；1
kk11⑤、倍加某行或某列，符号Eijk且Eijk1Eijk，如：11k≠0；11
10矩阵秩的基本性质：①、0≤rAm×
≤mi
m
；②、rATrA；③、若AB，则rArB；④、若P、Q可逆，则rArPArAQrPAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩可逆矩阵不影响矩阵的秩）可逆矩阵不影响矩阵的秩⑤、maxrArB≤rAB≤rArB；（※）⑥、rAB≤rArB；（※）⑦、rAB≤mi
rArB；（※）⑧、如果A是m×
矩阵，B是
×s矩阵，且AB0，则：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；列Ⅱ、rArB≤
⑨、若A、B均为
阶方阵，则rAB≥rAr