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1、行列式
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行列式共有
2个元素,展开后有
项,可分解为2
行列式;
代数余子式的性质:①、Aij和aij的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A;
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代数余子式和余子式的关系:Mij1ijAij设
行列式D:
Aij1ijMij
将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1,则D11

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D;D;
将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为D2,则D21将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则D4D;5行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积×1

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将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,则D3D;

③、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;④、和:副对角元素的乘积×1⑤、拉普拉斯展开式:
AOCBACOB

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CAOA1mi
AB
AB、
BO
BC
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;⑦、特征值;67对于
阶行列式A,恒有:λEAλ
∑1kSkλ
k,其中Sk为k阶主子式;
k1

证明A0的方法:①、AA;②、反证法;③、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解;④、利用秩,证明rA
;⑤、证明0是其特征值;
2、矩阵
1
A是
阶可逆矩阵:A≠0(是非奇异矩阵);
rA
(是满秩矩阵)A的行(列)向量组线性无关;齐次方程组Ax0有非零解;b∈R
,Axb总有唯一解;A与E等价;A可表示成若干个初等矩阵的乘积;A的特征值全不为0;ATA是正定矩阵;
fA的行(列)向量组是R
的一组基;A是R
中某两组基的过渡矩阵;
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对于
阶矩阵A:AAAAAE无条件恒无条件恒成立;
A1A1ABTBTATA1TAT1ABBAATATAB1B1A1
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矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:
A1若AA2,则:As
Ⅰ、AA1A2As;
A11Ⅱ、A1
1
A21
;1As
O;(主对角分块)B1B1;(副对角分块)OA1CB1;(拉普拉斯)B1O;(拉普拉斯)B1
②、
A1AOOBr
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