4x320
等号成立当且仅当5x4x30，由此易知当且仅当x2时等号成立故
cos1cos2233，当且仅当θ1θ2时，等号成立
2°当
≥3时，λ
－1先证
cosθ1＋cosθ2＋…＋cosθ
－1
（1）
不妨设θ1≥θ2≥θ3≥…≥θ
，要证明（1）式只要证
cosθ1＋cosθ2＋cosθ32
（2）
ta
θ1ta
θ2…ta
θ
2
2，故ta
θ1ta
θ2ta
θ322
11
fcosi1si
2i1si
2i2
故cos2cos32si
22si
2322si
2si
3
ta
21

8ta
22
ta
23故
1cos21

8
ta
22ta
23ta
22ta
23

cos1
ta
2ta
38ta
2ta
3
si
2si
38cos22cos23si
22si
23
cos1cos2cos32si
2si
31
1

8cos22cos23si
22si
23
cos1cos2cos32
8cos22cos23si
22si
231
8ta
22ta
23sec22sec231ta
221ta
23
ta
22ta
237
3
若（3）式不成立，即ta
2θ2＋ta
2θ37，从而ta
2θ1≥ta
2θ272故cosθ1≤cosθ
2117223，cosθ1＋cosθ2＋cosθ3223＋12从而（1）式得证
现证λ
－1为最小的事实上，若0λ
－1，则取αλ（
－1）1，从而存在θi（0，π2）i1，2，…，
，
使得cosθiα，ta
θi12（i1，2，…，
－1），ta
θ
2
2α12
－1，从而ta
θ1ta
θ2…ta
θ
2
2，但cosθ1＋cosθ2＋…＋cosθ
－1＋cosθ
cosθ1＋cosθ2＋…＋cosθ
－1λ当
≥3时，最小的正数λ为
－1
综上所求最小正数




33
12

1
3
四、设
mq＋r，0≤r≤m－1，则
a
＋203amq＋r＋203amqar＋203≡－1qar＋203modam＋1
从而am＋1a
＋203am＋1－1aar＋203即
kam＋1－1qar＋203
1°若2q，则kam＋1ar＋203
①
（i）若r0，则有
kam＋120422×3×17
由a≥2m≥2，易知只有a2，m4及a4，m2满足上式故（a，m，
）（2，4，8t）
或（4，2，4t），
其中t为非负整数（下同）
（ii）若r≥1，由①有ar（kam－r－1）203－k
对于1≤k≤9，容易验证只有当k8时，存在a5，m2，r1满足上式，即（a，m，
）
（5，2，4t＋1）
对于k≥10，则由①有
10（am＋1）≤ar＋203≤kam－1＋203
故am－1（10a－1）≤193，a可能值为2，3，4
12
f当a2时，m可能值为2，3，4，容易验证仅当a2，m2，r1或a2，m3，r2时满足
①式，故（a，m，
）（2，2，4t＋1）或（2，3，6t＋2）
当a3，4时，均不存在m，r满足①式
2°若q为奇数，则
k（am＋1）203－ar
②
由0≤r≤m－1知，k≥0
（i）当k0时，a203，r1对任意的不小于2的整数m②式都成立，故
（a，m，
）（203，m，（2t＋1）m＋1）
（ii）若k≥1，则当r0时，由②有
k（am＋1）202
容易验证仅当a10，m2时，上式成立，故
（a，m，
）（10，2，4t＋2）
当r≥1r